找到距離至少為（無向）圖直徑一半的任何兩個節點的算法

Question

我必須給出一個算法如下：

給定一個無向連通圖 G，給出一個算法，找到兩個節點 x,y，使得它們的距離至少是圖直徑的一半。 證明任何主張。

我假設我必須從任意節點運行 BFS 並找到最遠的節點來找到直徑。 然后找到兩個探索的節點，其距離大於直徑的一半。 但我懷疑這是最佳的並要求解決方案。 有沒有其他方法可以在運行 BFS 時找到直徑，同時找到這兩個所需的節點？ 這樣復雜度仍然是多項式。 任何指導或提示將不勝感激！

Answer 1

圖的直徑（我們稱之為D ）是其任何節點之間的最大距離（= 最小跳數）。

選擇任何節點並執行 BFS，同時為每個節點保留初始節點的跳數。 這需要 O(V)，因為您將只訪問所有節點一次。 請注意，這個number of hops也是shortest distance to v from the root的shortest distance to v from the root - 我將其稱為d(root, v) 。

現在，從根中取出跳數最多的葉子z 。 恭喜， d(root, z) >= D/2 ，因為

引理：對於直徑為D的連通圖中的任何節點x ，必須存在一個距離至少D/2遠的節點y 。

證明：如果不是這樣，那么會有一些節點x因此對於所有y ， d(x,y) = D/2 - k <= D/2 （ k>=1 ）。 但是，通過通過x ，我們可以找到從任何節點到所有其他節點的路徑最多為2 * (D/2 - k) = D - 2k - 因此，圖的直徑不能是D ，而是D - 2k .

Answer 2

這實際上是一個棘手的問題，但我想我明白了。 有趣的是，您部分錯誤的解決方案讓我走上了正確的道路。

讓我們在這里復制幾個定義：

• 圖中兩個頂點之間的距離是最短路徑中的邊數
• 頂點v的偏心率是v與任何其他頂點之間的最大距離
• 圖的直徑d是圖中任意頂點的最大偏心率。 也就是說， d是任何一對頂點之間的最大距離

真正的問題是實際找到直徑，這不是一件容易的事。 要找到直徑，您不能只選擇任何節點並運行 BFS - 在這種情況下，您只需找到與該節點距離（偏心率）最大的節點，但它不是直徑。 要實際找到直徑，您必須從每個節點運行 BFS（= 查找偏心率），並且您獲得的最高距離是直徑（有一些更好的算法，但正如我所說 - 這不是簡單的任務）。

然而！ 您根本不必知道直徑。 如果您實際上從隨機節點運行 BFS 並找到距離（偏心率）最高的節點 - 這就是您的算法的解決方案。 x將是您的起始節點， y將是距離最大的節點。

為什么？ 如果你想象這樣的超級簡單的圖形

您可以看到直徑在節點 1 和節點 4 之間。因此，無論您從哪個點運行 BFS，該點都必須位於中間（這意味着它將具有直徑的一半）或不在中間，並且那么距離最大的節點的距離必須比直徑的一半還要高。

更復雜的圖形也不會改變事實

如果您選擇 6 或 7，它的直徑路徑不完全（因為最大距離在 1-2-3-4-5 之間），但這意味着您獲得更高的距離，這對您的任務來說很好。

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結果：從隨機節點運行BFS，當它結束時，取與起始節點距離最大的節點（=找到偏心並記住最遠的節點），起始和“結束”節點是(x,y)