找到距离至少为（无向）图直径一半的任何两个节点的算法

Question

我必须给出一个算法如下：

给定一个无向连通图 G，给出一个算法，找到两个节点 x,y，使得它们的距离至少是图直径的一半。 证明任何主张。

我假设我必须从任意节点运行 BFS 并找到最远的节点来找到直径。 然后找到两个探索的节点，其距离大于直径的一半。 但我怀疑这是最佳的并要求解决方案。 有没有其他方法可以在运行 BFS 时找到直径，同时找到这两个所需的节点？ 这样复杂度仍然是多项式。 任何指导或提示将不胜感激！

Answer 1

图的直径（我们称之为D ）是其任何节点之间的最大距离（= 最小跳数）。

选择任何节点并执行 BFS，同时为每个节点保留初始节点的跳数。 这需要 O(V)，因为您将只访问所有节点一次。 请注意，这个number of hops也是shortest distance to v from the root的shortest distance to v from the root - 我将其称为d(root, v) 。

现在，从根中取出跳数最多的叶子z 。 恭喜， d(root, z) >= D/2 ，因为

引理：对于直径为D的连通图中的任何节点x ，必须存在一个距离至少D/2远的节点y 。

证明：如果不是这样，那么会有一些节点x因此对于所有y ， d(x,y) = D/2 - k <= D/2 （ k>=1 ）。 但是，通过通过x ，我们可以找到从任何节点到所有其他节点的路径最多为2 * (D/2 - k) = D - 2k - 因此，图的直径不能是D ，而是D - 2k .

Answer 2

这实际上是一个棘手的问题，但我想我明白了。 有趣的是，您部分错误的解决方案让我走上了正确的道路。

让我们在这里复制几个定义：

• 图中两个顶点之间的距离是最短路径中的边数
• 顶点v的偏心率是v与任何其他顶点之间的最大距离
• 图的直径d是图中任意顶点的最大偏心率。 也就是说， d是任何一对顶点之间的最大距离

真正的问题是实际找到直径，这不是一件容易的事。 要找到直径，您不能只选择任何节点并运行 BFS - 在这种情况下，您只需找到与该节点距离（偏心率）最大的节点，但它不是直径。 要实际找到直径，您必须从每个节点运行 BFS（= 查找偏心率），并且您获得的最高距离是直径（有一些更好的算法，但正如我所说 - 这不是简单的任务）。

然而！ 您根本不必知道直径。 如果您实际上从随机节点运行 BFS 并找到距离（偏心率）最高的节点 - 这就是您的算法的解决方案。 x将是您的起始节点， y将是距离最大的节点。

为什么？ 如果你想象这样的超级简单的图形

您可以看到直径在节点 1 和节点 4 之间。因此，无论您从哪个点运行 BFS，该点都必须位于中间（这意味着它将具有直径的一半）或不在中间，并且那么距离最大的节点的距离必须比直径的一半还要高。

更复杂的图形也不会改变事实

如果您选择 6 或 7，它的直径路径不完全（因为最大距离在 1-2-3-4-5 之间），但这意味着您获得更高的距离，这对您的任务来说很好。

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结果：从随机节点运行BFS，当它结束时，取与起始节点距离最大的节点（=找到偏心并记住最远的节点），起始和“结束”节点是(x,y)