具有O（n）內存而不是O（n log n）的Karatsuba算法

Question

已知時間復雜度為〜O ~O(n^log2(3))的遞歸Karatsuba乘法算法比復雜度為O(n^2)的簡單乘法算法要快。
但是，它比“學年級”算法使用更多的內存空間O(n log(n))而不是O(n)內存，這對於具有少量內存的控制器或非常小的計算機來說確實很關鍵。

所以，我的問題是：
有沒有辦法在karatsuba算法中實現O(n)存儲空間？

PS：我知道使用FFT可以達到更快的速度O(n log(n))和更好的內存使用率O(n) ，但是我只是對唐津（Karatsuba O(n)很好奇。

Answer 1

Karatsuba的算法僅需要O（n）空間。

(A0 2^n + B0)(A1 2^n + B1)
= A0 A1 2^(2n) + B0 B1 + ((A0+B0)(A1+B1) - A0 A1 - B0 B1)2^n

這是一個粗略的歸納論證。 歸納地，假設使用Karatsuba算法將n位數字相乘僅占用cn空間。 要乘以2n位數字，我們可以在cn空間中乘以A0 A1，然后將答案保存在2n空間中 ，然后在cn空間中乘以B0 B1，然后將答案保存在2n空間中，然后乘以（A0 + B0）（A1 + B1）在cn空間中。 此時，我們最多使用（c + 4）n個空間。 然后我們執行減法，並將答案記錄在4n空間中。 峰值空間使用量為（c + 4）n，小於max（c，4）（2n）空間。 因此，只要c> 4，如果將cn個空格乘以n個數字，則需要c（2n）空格乘以2n個數字。 這是不精確的，因為（A0 + B0）和（A1 + B1）可能有n + 1個數字而不是n。 因此，嚴格的歸納論證會比較混亂，但是可以遵循相同的基本模式來完成。

問題的前提是錯誤的。 Karatsuba乘法僅需要O（n）空間，而不需要Omega（n log n）。 某些實現可能需要更多的空間，而不必局限於O（n log n），例如，如果您並行執行計算。

實際上，有可能在答案之外的O（log n）額外位中進行Karatsuba乘法。

Answer 2

答案是肯定的：

使用輸入數組的N個條目和輸出數組的2 * N個條目，可以就地執行“ Karatsuba”算法，從而節省每次遞歸的額外內存。

看看這里的例子： https : //github.com/hselasky/libmbin/blob/master/mbin_multiply_x3.c

--HPS