計算算法的時間復雜度

Question

如何計算函數f的時間復雜度？

void f(int n)
{
    if (n <= 1)
       return;
    g(n, n / 3);
}

void g(int n, int m)
{
    int i = 1;
    while (m < n) {
       m += i;
       i++;
    }
    f(n / 2);
} 

答案是sqrt（n），但我不知道如何...

謝謝

Answer 1

首先，請注意，現在可以通過在f()內聯g(n,m)將該程序轉換為單個函數程序：

void f(int n)
{
    if (n <= 1)
       return;
    m = n/3;
    while (m < n) {
       m += i;
       i++;
    }
    f(n / 2);
} 

內部循環以O(sqrt(n))迭代運行，因為它從n/3開始，以n結尾，並增加1,2,3，...，因此，如果將其相加，我們將得到：

n/3 + (1 + 2 + ... + i) >= n

我們需要解決上述方程，以找到i的最終值，我們得到：

1 + 2 + ... + i >= 2n/3

從算術級數的總和：

i(i+1)/2 >= 2n/3

從上面的不等式， 我們可以得出結論 ，確實i在O(sqrt(n)) 。

因此，我們可以將復雜度表示為：

T(n) = T(n/2)              +           O(sqrt(n))
        ^                                ^
    recursive step                 syntatic sugar for some function
                                   which is in O(sqrt(n)).

現在，我們可以看到：

T(n) = T(n/2) + sqrt(n) = T(n/4) + sqrt(n/2) + sqrt(n) = ... =
     = sqrt(1) + ... + sqrt(n/2) + sqrt(n)

上面的總和是O(sqrt(n))

Answer 2

令F _n為f(n)的時間復雜度，而G _n，m為g(n,m)的時間復雜度。

G _n，m = sqrt（nm）+ F _{n / 2}

F _n = G _{n，n / 3} = sqrt（nn / 3）+ F _{n / 2} = C sqrt（n）+ F _{n / 2}

因此答案是sqrt（n）。