在matlab中求解微分方程組

Question

我正在嘗試在Matlab中解決微分方程組。

dn/du=(-2*u*n-K*(n*u-(1+g)))/(1+u^2+K*u*(u-(1+g)/n))

dxi/du=(1-u^2)/(1+u^2+K*u*(u-(1+g)/n))

df/du=(2*u+K*u^2*(u-(1+g)/n))/(1+u^2+K*u*(u-(1+g)/n))

K和伽瑪是常數。 我有這樣的初始條件：

n(0)=1, xi(0)=0, f(0)=0

首先，我嘗試使用'dsolve'。

g=0.1;
K=3;

syms n(u) u 
n(u)=dsolve(diff(n,u)== (-2*u*n-K*(n*u-(1+g)))/(1+u^2+K*u*(u-(1+g)/n)),n(0)==1)

syms x(u) u n
x(u)= dsolve(diff(x,u)== (1-u^2)/(1+u^2+K*u*(u-(1+g)/n)),x(0)==0)

syms f(u) u n
f(u)=dsolve(diff(f,u)== (2*u+K*u^2*(u-(1+g)/n))/(1+u^2+K*u*(u-(1+g)/n)),f(0)==0)

由此我得到第一個方程式沒有明確的解決方案，並返回了一個[empty sym]，如下所示。

警告：找不到明確的解決方案。

處於溶解狀態（201行）

在無標題（第37行）中

n（u） = [空符號]

x（u） =（1089 * atan（33 /（1600 * n ^ 2-1089）^（1/2）-（80 * n * u）/（1600 * n ^ 2-1089）^（1/2 ）））/（160 * n *（1600 * n ^ 2-1089）^（1/2））-（35937 * log（40 * n * u ^ 2-33 * u + 10 * n））/（ 2 *（-256000 * n ^ 3 + 174240 * n））-u / 4 +（33 * log（10 * n）*（1600 * n ^ 2-1089）^（1/2）-2178 * atan（ 33 /（1600 * n ^ 2-1089）^（1/2））+ 8000 * n ^ 2 * atan（33 /（1600 * n ^ 2-1089）^（1/2）））/（320 * n *（1600 * n ^ 2-1089）^（1/2））-（25 * n * atan（33 /（1600 * n ^ 2-1089）^（1/2）-（80 * n * u ）/（1600 * n ^ 2-1089）^（1/2）））/（1600 * n ^ 2-1089）^（1/2）+（26400 * n ^ 2 * log（40 * n * u ^ 2-33 * u + 10 * n））/（-256000 * n ^ 3 + 174240 * n）

f（u） =（3 * u ^ 2）/ 8-（33 * u）/（160 * n）-（log（40 * n * u ^ 2-33 * u + 10 * n）*（3200000 * n ^ 4-3920400 * n ^ 2 + 1185921））/（2 *（-10240000 * n ^ 4 + 6969600 * n ^ 2））+（log（10 * n）*（3200000 * n ^ 4-3920400 * n ^ 2 + 1185921））/（2 *（-10240000 * n ^ 4 + 6969600 * n ^ 2））+（33 * atan（（1089 *（2800 * n ^ 2-1089））/（（（1600 * n ^ 2-1089）^（1/2）*（92400 * n ^ 2-35937））*（2800 * n ^ 2-1089））/（6400 * n ^ 2 *（1600 * n ^ 2- 1089）^（1/2））-（33 * atan（（1089 *（2800 * n ^ 2-1089））/（（1600 * n ^ 2-1089）^（1/2）*（92400 * n ^ 2-35937））-（2640 * n u （2800 * n ^ 2-1089））/（（（1600 * n ^ 2-1089）^（1/2）*（92400 * n ^ 2-35937）） ）*（2800 * n ^ 2-1089））/（6400 * n ^ 2 *（1600 * n ^ 2-1089）^（1/2））

然后，我嘗試使用“ ode45”。

u=0:0.1:1;
K=3;
g=0.1;
dndu=@(u,n) (-2*u*n-K*(n*u-(1+g)))/(1+u^2+K*u*(u-(1+g)/n));
[u,n]=ode45(dndu, u, 1) % initial n=1

dxidu=@(u,xi) (1-u^2)/(1+u^2+K*u*(u-(1+g)/n));
[u,xi]=ode45(dxidu, u, 0); %initial xi=0

dfdu=@(u,f) (2*u+K*u^2*(u-(1+g)/n))/(1+u^2+K*u*(u-(1+g)/n));
[u,f]=ode45(dfdu, u, 0) %initial f=0

K和g是常數，並且u獲得0到1的值。當我運行此方程時，第一個方程式被求解並得到u和n的答案，但是第二個方程式卻出現了一個誤差，矩陣尺寸必須一致，如下所示。

u = 0 0.1000 0.2000 0.3000 0.4000 0.5000 0.6000 0.7000 0.8000 0.9000 1.0000

n = 1.0000 1.3409 1.6243 1.7746 1.7945 1.7263 1.6119 1.4800 1.3470 1.2208 1.1048

使用/時出錯
矩陣尺寸必須一致。

@（u，xi）（1-u ^ 2）/（1 + u ^ 2 + K u （u-（1 + g）/ n））中的錯誤

排列錯誤（第87行）
f0 = feval（ode，t0，y0，args {：}）; ％ODE15I將args {1}設置為yp0。

ode45中的錯誤（第113行）
[neq，tspan，ntspan，next，t0，tfinal，tdir，y0，f0，odeArgs，odeFcn，...

ode45方法錯誤（第24行）
[u，xi] = ode45（dxidu，u，0）; ％initial xi = 0

誰能幫助我解決這類問題？ 提前致謝！

Answer 1

您有一個耦合的微分方程組，需要將其作為一個耦合系統進行求解。 一個ODE函數用於具有3個分量的矢量值函數。

Answer 2

u1=0:0.01:1;
K=3;
g=0.1;
dydu=@(u,y)[(-2*u*y(1)-K*(y(1)*u-(1+g)))/(1+u^2+K*u*(u-(1+g)/y(1)))
        (1-u^2)/(1+u^2+K*u*(u-(1+g)/y(1)))
        (2*u+K*u^2*(u-(1+g)/y(1)))/(1+u^2+K*u*(u-(1+g)/y(1)))];
[U,Y]=ode45(dydu,u1,[1 0 0]);
n=Y(:,1);
xi=Y(:,2);
f=Y(:,3);