使用 Octave/Matlab 求解帶有嵌入式非微分方程的微分方程組（見圖）

Question

我有以下方程組（點擊查看圖片） ，並想求解 X(t)、Y(t)、Z(t)，希望使用我熟悉的 Octave/Matlab，但我會不介意通過任何其他必要的方式解決它。

現在，Fsolve 可用於正則方程系統，而 Ode45、Lsode 可用於微分方程。 但是，這個特定的系統呢？ 請注意，底部的微分方程不僅包含 Y，而且還包含 X 和 Z，它們依賴於上面的兩個非微分方程。

老實說，我不太確定如何接近解決這個系統的基本代碼，經過一段時間的思考，我決定尋求幫助。 如果有可能的話，我真的很感謝任何能稍微有效地解決這個問題的指導。 現在，幾乎任何回復都會對我有用。

Answer 1

如果你知道y ，你可以解出x ，這甚至可以無條件地作為x中單調的第二個方程

x = fsolve(@(x) y^2-1413.7*x-1095.2*cos(x)+2169, 0)

然后一旦你知道x ，你就可以使用已知的反余弦求解z

z = acos(0.20978-cos(x))

如果cos(x)接近-1這實際上可能無法給出結果。 可以人為地消除該錯誤，引入可能錯誤的解決方案

z = acos(min(1,0.20978-cos(x)))

為簡單起見，將這些操作組合在一個輔助函數中

function [x,z] = solve_xz(y)
    x = fsolve(@(x) y^2-1413.7*x-1095.2*cos(x)+2169, 0);
    z = acos(min(1,0.20978-cos(x)));
end

現在使用它來獲取y的 ODE

function dy = ode_y(t,y)
    [x,z] = solve_xz(y(1));
    dy = [ y(2); y(3); 6666.6667*(z-x)-333.3333*y(1)-33.3333*y(2)-5*y(3) ];
end

並應用您選擇的 ODE 求解器。 系統很可能是剛性的，因此ode45可能不是最好的求解器。