快速檢查子集是否包含給定的子集列表的方法

Question

我的問題如下

我有一套K元素

該集合的每個子集由std :: bitset的實例表示（位i為真=子集中有元素i）

我有一個輸入子集I，以及一個子集S1 ... Sn的列表

我想從S1 ... Sn中返回項目，這樣Si就包含在I中。（也就是說，每次Si有一點真實，它在I中也必須是真的）

顯然，這可以在K * n中完成，通過對每個S子集進行獨立的相同檢查。

但是，有沒有一種通用的方法可以做得更好？ 我很確定這是可能的，因為在我的情況下，子集列表S1 ... Sn總是相同的並且可以進行預處理。 我確定可以將子集存儲在特定的數據結構中（樹？trie？），這樣我就可以一次性丟棄很多相同的數據結構等等。

example :
K = 5

I = [1,1,0,1,0]

S1 = [1,0,0,0,0]
S2 = [1,1,0,1,0]
S3 = [1,1,1,0,0]

the ouput should return S1,S2 (not S3!)

我有一個常數集S1,S2,...,Sn ，並在同一組上運行不同的I查詢。

編輯：我正在談論的例子：例如，如果S2包含在S2中：檢查I中是否包含S1：如果不包括，那么如果S3是S1的並集，則S2不能包含在I中（不需要檢查） S2：如果S1和S2包含在I中，則S3也是如此

Answer 1

您可以使用倒排索引方法。 雖然它不會改善最壞情況的性能，但它可能會加速平均情況，特別是對於相對密集的查詢向量。

對於每個j = 1,2，...，k，創建一個排序列表，其中如果j在S_i ，則每個子集都在此列表中。 在預處理中僅創建一次。

在您的示例中，它將類似於：

0 -> [S1,S2,S3]
1 -> [S2,S3]
2 -> [S3]
3 -> [S2]
4 -> []

現在，給定一個查詢I發現，包括“下降”位中的一個所有集合I 。 這與信息檢索中的OR查詢相同。 此查詢的答案是結果中沒有的子集。 剩下的就是。

在您的示例中，查詢為2 OR 4 ，查詢反向索引時的結果為： S3 ，因此結果為S1，S2。

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這基本上就是搜索引擎所做的事情，如果查詢與可能性的數量相比包含的條款非常少，則效率非常高。

Answer 2

用部分答案回答我的問題：

1. 從S1 ... Sn我們構建一個子集樹，使得根節點是空子集（bitset中的全0），並且每個子節點包含其父子集
2. 對於算法，從根開始：
   • 為每個孩子：
     • 如果此節點上的子集包含在I中，則添加此子集並再次以此節點作為根調用算法
     • 否則，轉到下一個孩子（從未處理過這個孩子的子樹）

現在問題是，如何從1）最佳地構建樹？ 即，具有最大深度和最小“寬度”的例如，在我的例子中，“壞”樹將是S1，S2和S3是來自根節點的子節點。 “好”樹將是根節點僅具有針對子節點的S1，並且以S1為根的樹具有S2且S3為子節點。 我不知道如何構建這棵樹

Answer 3

構造具有所有S1...Sn的二叉樹T ，其中每個級別k具有兩個子節點，這取決於S在位置k是0還是1 。 樹的葉子都是你的S1...Sn 。

給定輸入子集I讓我們取Ik （位置k中的元素）：如果Ik==0 ，則在級別K對應於0的T的子樹。如果Ik==1 ，則在級別K選擇T子樹。 在T上以這種方式進行，直到你到達所有的葉子。

在最壞的情況下，您對給定的I進行O(n+k)運算。

由於S1...Sn不會改變，因此構造樹T是一次操作。

編輯：我的答案很倉促。 樹T具有多於n葉子，它具有2^k=m葉子。 但我們可以刪除不在S1...Sn中的葉子S1...Sn和死亡的子樹。 這將成本分析帶到O(2^k)但實際上我們將有更少的節點。 現在分析變得更難，如果它的價值取決於m和n之間的比率;

我提出了一種不同的分析方法：認為在k級我們在恆定時間內丟棄所有在級別為k無效位的子集S ，但是我們必須在每個級別的O(n)子樹中這樣做。 由於該操作重復k次，因此最大成本為O(kn) ，但實際上平均值較低。