語言L = a ^（2 ^ k）的無上下文語法

Question

作為計算理論練習的一部分，要求我找到一種語言L = a ^（2 ^ k）的上下文無關語言。

我如何嘗試解決它：我想使用一個X句子，該句子遞歸地加倍其他句子產生的所有a。 那只會把我引到a，a ^ 2，a ^ 4，a ^ 8這樣的字符串中，這是我要尋找的語法。

但這有可能嗎？ 我怎樣才能做到這一點？

S -> aS | X | ε
Χ -> (doubles all previous a's)

並且也有一串加倍的問題a會產生數第a不是由一個^（2 ^ k）的條件接受，例如^ 3，^ 5，d 6都屬於“在“ a ^（2 ^ k）的進展間隙之間”。

Answer 1

考慮一下您的語言中的字符串a^(2^p) ，其中p是無上下文語言在抽水引理中的常數。 我們可以將此字符串寫為uvxyz這樣：

• |vy| >= 1
• |vxy| <= p

然后我們知道，如果該語言是上下文無關的，則所有形式uv^nxy^nz字符串都應使用n >= 0的語言。 我們稱a = |uxz| 和b = |vy| 。 然后，我們必須具有長度為a, a + b, a + 2b, ...的語言字符串。 假設a = 2^k是a = 2^k的冪，而a + b也是2的冪。則b = 2^m - 2^k而a + 2b = 2^(m+1) - 2^k = 2^j也是a + 2b = 2^(m+1) - 2^k = 2^j的冪。將其重寫為2^(m+1) = 2^k + 2^j 。 除以k和j的較小者，得到2^r = 2^s + 1 。 滿足此方程式的唯一方法是s = 0 ，即k = j ，因為否則RHS為奇數，而LHS必須為偶數。 但隨后m = k且b = 0 。 但是， b必須大於0，這取決於泵送引理。

那個丑陋的人，但你明白了。