如何繪制grad（f（x，y））？

Question

我想計算並繪制兩個變量的任何標量函數的梯度。 如果你真的想要一個具體的例子，讓我們說f = x ^ 2 + y ^ 2，其中x從-10到10，對y來說是相同的。 如何計算和繪制grad（f）？ 解決方案應該是矢量，我應該看到矢量線。 我是python的新手所以請使用簡單的單詞。

編輯：

@Andras Deak：謝謝你的帖子，我嘗試了你的建議，而不是你的測試功能（fun = 3 * x ^ 2-5 * y ^ 2）我使用了我定義為V（x，y）的函數; 這是代碼的樣子，但報告錯誤

import numpy as np
import math 
import sympy
import matplotlib.pyplot as plt

def V(x,y):
    t=[]
    for k in range (1,3): 
        for l in range (1,3):
            t.append(0.000001*np.sin(2*math.pi*k*0.5)/((4*(math.pi)**2)* (k**2+l**2)))  
            term = t* np.sin(2 * math.pi * k * x/0.004) * np.cos(2 * math.pi * l * y/0.004)
            return term 
    return term.sum()

x,y=sympy.symbols('x y')
fun=V(x,y)
gradfun=[sympy.diff(fun,var) for var in (x,y)]
numgradfun=sympy.lambdify([x,y],gradfun)

X,Y=np.meshgrid(np.arange(-10,11),np.arange(-10,11))
graddat=numgradfun(X,Y)
plt.figure()
plt.quiver(X,Y,graddat[0],graddat[1])
plt.show()

AttributeError: 'Mul' object has no attribute 'sin'

讓我說我刪除罪，我得到另一個錯誤：

TypeError: can't multiply sequence by non-int of type 'Mul'

我閱讀了針對sympy的教程並且它說“像SymPy這樣的符號計算系統的真正力量是能夠象征性地進行各種計算”。 我得到了這個，我只是不明白為什么我不能將x和y符號乘以浮點數。

這是怎么回事？ ：（ 請幫忙！

UPDATE

@Andras Deak：我想讓事情更短，所以我從V（x，y）和Cn * Dm的原始公式中刪除了許多常量。 正如你所指出的，這導致sin函數總是返回0（我剛注意到）。 為此道歉。 我將在今天晚些時候更新帖子，當時我會詳細閱讀您的評論。 十分感謝！

更新2我在表達式中更改了電壓系數，這是結果：

它看起來不錯，只是箭頭指向相反的方向（它們應該從紅色點出來並進入藍色點）。 你知道我怎么能改變它嗎？ 如果可能的話，你能告訴我增加箭頭大小的方法嗎？ 我嘗試了另一個主題（ 計算和繪圖矢量字段 ）中的建議：

skip = (slice(None, None, 3), slice(None, None, 3))

這只繪制了每三個箭頭和matplotlib進行自動縮放，但它對我不起作用（當我添加此項時，沒有任何反應，對於我輸入的任何數字）你已經得到了很大的幫助，我不能夠感謝你！

Answer 1

這是一個使用sympy和numpy的解決方案。 這是我第一次使用sympy，因此其他人/可能會提出更好，更優雅的解決方案。

import sympy

#define symbolic vars, function
x,y=sympy.symbols('x y')
fun=3*x**2-5*y**2

#take the gradient symbolically
gradfun=[sympy.diff(fun,var) for var in (x,y)]

#turn into a bivariate lambda for numpy
numgradfun=sympy.lambdify([x,y],gradfun)

現在你可以使用numgradfun(1,3)計算(x,y)==(1,3)處的梯度。 然后，此功能可用於繪圖，您可以這樣做。

對於繪圖，您可以使用matplotlib的quiver ，例如：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

X,Y=np.meshgrid(np.arange(-10,11),np.arange(-10,11))
graddat=numgradfun(X,Y)

plt.figure()
plt.quiver(X,Y,graddat[0],graddat[1])
plt.show()

UPDATE

您為要計算的函數添加了規范。 它包含取決於x和y的術語的乘積，這似乎打破了我的上述解決方案。 我設法想出一個新的，以滿足您的需求。 但是，你的功能似乎毫無意義。 來自您編輯的問題：

t.append(0.000001*np.sin(2*math.pi*k*0.5)/((4*(math.pi)**2)* (k**2+l**2)))
term = t* np.sin(2 * math.pi * k * x/0.004) * np.cos(2 * math.pi * l * y/0.004)

另一方面，從您對應答案的相應評論：

V（x，y）= [Cn * Dm * sin（2pinx）* cos（2pimy）]的n和m之和; 總和從-10到10; Cn和Dm是系數，並且我計算出CkD1 = sin（2pik）/（k ^ 2 + 1 ^ 2）（這里我使用k和l作為來自n和m之和的索引之一）。

我有幾個問題： sin(2*pi*k)和sin(2*pi*k/2) （前因子中的兩個競爭版本對於整數k總是為零，每次給你一個恆定的零V (x,y) 。此外，在你的代碼中，你在三角函數中有神奇的頻率因子，它們在評論中缺失。如果你將x乘以4e-3 ，你就會大大改變函數的空間依賴性（通過改變波長大約是一千倍。所以你應該真正決定你的功能是什么。

所以這是一個解決方案，我假設了

V（x，y）= sum_ {k，l = 1到10} C_ {k，l} * sin（2 * pi * k * x）* cos（2 * pi * l * y），
C_ {K，L} = SIN（2 * PI * K / 4）/（（4 * PI ^ 2）*（K ^ 2 + 1 ^ 2））* 1E-6

這是函數的各種版本的組合，在prefactor中修改sin(2*pi*k/4)以具有非零函數。 在您找到合適的數學模型后，我希望您能夠根據實際需要確定數值因子。

所以這是完整的代碼：

import sympy as sp
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def CD(k,l):
    #return sp.sin(2*sp.pi*k/2)/((4*sp.pi**2)*(k**2+l**2))*1e-6
    return sp.sin(2*sp.pi*k/4)/((4*sp.pi**2)*(k**2+l**2))*1e-6

def Vkl(x,y,k,l):
    return CD(k,l)*sp.sin(2*sp.pi*k*x)*sp.cos(2*sp.pi*l*y)

def V(x,y,kmax,lmax):
    k,l=sp.symbols('k l',integers=True)
    return sp.summation(Vkl(x,y,k,l),(k,1,kmax),(l,1,lmax))


#define symbolic vars, function
kmax=10
lmax=10
x,y=sp.symbols('x y')
fun=V(x,y,kmax,lmax)

#take the gradient symbolically
gradfun=[sp.diff(fun,var) for var in (x,y)]

#turn into bivariate lambda for numpy
numgradfun=sp.lambdify([x,y],gradfun,'numpy')
numfun=sp.lambdify([x,y],fun,'numpy')

#plot
X,Y=np.meshgrid(np.linspace(-10,10,51),np.linspace(-10,10,51))
graddat=numgradfun(X,Y)
fundat=numfun(X,Y)

hf=plt.figure()
hc=plt.contourf(X,Y,fundat,np.linspace(fundat.min(),fundat.max(),25))
plt.quiver(X,Y,graddat[0],graddat[1])
plt.colorbar(hc)
plt.show()

我使用一些輔助功能來定義你的V(x,y)函數以實現透明度。 我把總和截止值作為文字參數， kmax和lmax ：在你的代碼中這些是3，在你的評論中他們被認為是10，無論如何他們應該是無限的。

漸變采用與以前相同的方式，但是當使用lambdify轉換為numpy函數時，您必須設置一個額外的字符串參數'numpy' 。 這將使得生成的numpy lambda接受數組輸入（基本上它將使用np.sin而不是math.sin ，而cos則相同）。

我還將網格的定義從array更改為np.linspace ：這通常更方便。 由於你的函數在整數網格點幾乎不變，我創建了一個更密集的網格用於繪圖（51點，同時保持原始極限（-10,10）固定）。

為清楚起見，我還包括了幾個圖：一個用於顯示函數值的contourf （輪廓線應始終與梯度向量正交），以及一個用於指示函數值的contourf條。 這是結果：

組成顯然不是最好的，但我不想偏離你的規格太多。 這個圖中的箭頭實際上幾乎看不到，但正如你所看到的（並且從V的定義中也很明顯），你的函數是周期性的，所以如果用較小的限制和較少的網格點繪制相同的東西，你會看到更多功能和更大的箭頭。