如何绘制grad（f（x，y））？

Question

我想计算并绘制两个变量的任何标量函数的梯度。 如果你真的想要一个具体的例子，让我们说f = x ^ 2 + y ^ 2，其中x从-10到10，对y来说是相同的。 如何计算和绘制grad（f）？ 解决方案应该是矢量，我应该看到矢量线。 我是python的新手所以请使用简单的单词。

编辑：

@Andras Deak：谢谢你的帖子，我尝试了你的建议，而不是你的测试功能（fun = 3 * x ^ 2-5 * y ^ 2）我使用了我定义为V（x，y）的函数; 这是代码的样子，但报告错误

import numpy as np
import math 
import sympy
import matplotlib.pyplot as plt

def V(x,y):
    t=[]
    for k in range (1,3): 
        for l in range (1,3):
            t.append(0.000001*np.sin(2*math.pi*k*0.5)/((4*(math.pi)**2)* (k**2+l**2)))  
            term = t* np.sin(2 * math.pi * k * x/0.004) * np.cos(2 * math.pi * l * y/0.004)
            return term 
    return term.sum()

x,y=sympy.symbols('x y')
fun=V(x,y)
gradfun=[sympy.diff(fun,var) for var in (x,y)]
numgradfun=sympy.lambdify([x,y],gradfun)

X,Y=np.meshgrid(np.arange(-10,11),np.arange(-10,11))
graddat=numgradfun(X,Y)
plt.figure()
plt.quiver(X,Y,graddat[0],graddat[1])
plt.show()

AttributeError: 'Mul' object has no attribute 'sin'

让我说我删除罪，我得到另一个错误：

TypeError: can't multiply sequence by non-int of type 'Mul'

我阅读了针对sympy的教程并且它说“像SymPy这样的符号计算系统的真正力量是能够象征性地进行各种计算”。 我得到了这个，我只是不明白为什么我不能将x和y符号乘以浮点数。

这是怎么回事？ ：（ 请帮忙！

UPDATE

@Andras Deak：我想让事情更短，所以我从V（x，y）和Cn * Dm的原始公式中删除了许多常量。 正如你所指出的，这导致sin函数总是返回0（我刚注意到）。 为此道歉。 我将在今天晚些时候更新帖子，当时我会详细阅读您的评论。 十分感谢！

更新2我在表达式中更改了电压系数，这是结果：

它看起来不错，只是箭头指向相反的方向（它们应该从红色点出来并进入蓝色点）。 你知道我怎么能改变它吗？ 如果可能的话，你能告诉我增加箭头大小的方法吗？ 我尝试了另一个主题（ 计算和绘图矢量字段 ）中的建议：

skip = (slice(None, None, 3), slice(None, None, 3))

这只绘制了每三个箭头和matplotlib进行自动缩放，但它对我不起作用（当我添加此项时，没有任何反应，对于我输入的任何数字）你已经得到了很大的帮助，我不能够感谢你！

Answer 1

这是一个使用sympy和numpy的解决方案。 这是我第一次使用sympy，因此其他人/可能会提出更好，更优雅的解决方案。

import sympy

#define symbolic vars, function
x,y=sympy.symbols('x y')
fun=3*x**2-5*y**2

#take the gradient symbolically
gradfun=[sympy.diff(fun,var) for var in (x,y)]

#turn into a bivariate lambda for numpy
numgradfun=sympy.lambdify([x,y],gradfun)

现在你可以使用numgradfun(1,3)计算(x,y)==(1,3)处的梯度。 然后，此功能可用于绘图，您可以这样做。

对于绘图，您可以使用matplotlib的quiver ，例如：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

X,Y=np.meshgrid(np.arange(-10,11),np.arange(-10,11))
graddat=numgradfun(X,Y)

plt.figure()
plt.quiver(X,Y,graddat[0],graddat[1])
plt.show()

UPDATE

您为要计算的函数添加了规范。 它包含取决于x和y的术语的乘积，这似乎打破了我的上述解决方案。 我设法想出一个新的，以满足您的需求。 但是，你的功能似乎毫无意义。 来自您编辑的问题：

t.append(0.000001*np.sin(2*math.pi*k*0.5)/((4*(math.pi)**2)* (k**2+l**2)))
term = t* np.sin(2 * math.pi * k * x/0.004) * np.cos(2 * math.pi * l * y/0.004)

另一方面，从您对应答案的相应评论：

V（x，y）= [Cn * Dm * sin（2pinx）* cos（2pimy）]的n和m之和; 总和从-10到10; Cn和Dm是系数，并且我计算出CkD1 = sin（2pik）/（k ^ 2 + 1 ^ 2）（这里我使用k和l作为来自n和m之和的索引之一）。

我有几个问题： sin(2*pi*k)和sin(2*pi*k/2) （前因子中的两个竞争版本对于整数k总是为零，每次给你一个恒定的零V (x,y) 。此外，在你的代码中，你在三角函数中有神奇的频率因子，它们在评论中缺失。如果你将x乘以4e-3 ，你就会大大改变函数的空间依赖性（通过改变波长大约是一千倍。所以你应该真正决定你的功能是什么。

所以这是一个解决方案，我假设了

V（x，y）= sum_ {k，l = 1到10} C_ {k，l} * sin（2 * pi * k * x）* cos（2 * pi * l * y），
C_ {K，L} = SIN（2 * PI * K / 4）/（（4 * PI ^ 2）*（K ^ 2 + 1 ^ 2））* 1E-6

这是函数的各种版本的组合，在prefactor中修改sin(2*pi*k/4)以具有非零函数。 在您找到合适的数学模型后，我希望您能够根据实际需要确定数值因子。

所以这是完整的代码：

import sympy as sp
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def CD(k,l):
    #return sp.sin(2*sp.pi*k/2)/((4*sp.pi**2)*(k**2+l**2))*1e-6
    return sp.sin(2*sp.pi*k/4)/((4*sp.pi**2)*(k**2+l**2))*1e-6

def Vkl(x,y,k,l):
    return CD(k,l)*sp.sin(2*sp.pi*k*x)*sp.cos(2*sp.pi*l*y)

def V(x,y,kmax,lmax):
    k,l=sp.symbols('k l',integers=True)
    return sp.summation(Vkl(x,y,k,l),(k,1,kmax),(l,1,lmax))


#define symbolic vars, function
kmax=10
lmax=10
x,y=sp.symbols('x y')
fun=V(x,y,kmax,lmax)

#take the gradient symbolically
gradfun=[sp.diff(fun,var) for var in (x,y)]

#turn into bivariate lambda for numpy
numgradfun=sp.lambdify([x,y],gradfun,'numpy')
numfun=sp.lambdify([x,y],fun,'numpy')

#plot
X,Y=np.meshgrid(np.linspace(-10,10,51),np.linspace(-10,10,51))
graddat=numgradfun(X,Y)
fundat=numfun(X,Y)

hf=plt.figure()
hc=plt.contourf(X,Y,fundat,np.linspace(fundat.min(),fundat.max(),25))
plt.quiver(X,Y,graddat[0],graddat[1])
plt.colorbar(hc)
plt.show()

我使用一些辅助功能来定义你的V(x,y)函数以实现透明度。 我把总和截止值作为文字参数， kmax和lmax ：在你的代码中这些是3，在你的评论中他们被认为是10，无论如何他们应该是无限的。

渐变采用与以前相同的方式，但是当使用lambdify转换为numpy函数时，您必须设置一个额外的字符串参数'numpy' 。 这将使得生成的numpy lambda接受数组输入（基本上它将使用np.sin而不是math.sin ，而cos则相同）。

我还将网格的定义从array更改为np.linspace ：这通常更方便。 由于你的函数在整数网格点几乎不变，我创建了一个更密集的网格用于绘图（51点，同时保持原始极限（-10,10）固定）。

为清楚起见，我还包括了几个图：一个用于显示函数值的contourf （轮廓线应始终与梯度向量正交），以及一个用于指示函数值的contourf条。 这是结果：

组成显然不是最好的，但我不想偏离你的规格太多。 这个图中的箭头实际上几乎看不到，但正如你所看到的（并且从V的定义中也很明显），你的函数是周期性的，所以如果用较小的限制和较少的网格点绘制相同的东西，你会看到更多功能和更大的箭头。