在加權無向圖中找到固定成本的路徑？

Question

我遇到以下問題，但不確定如何解決：

給定一個圖G = (V;E) ，其中每個邊e都有一個正整數成本c_e和起始頂點s\\in V 設計一種O(V + E)算法，該算法使用一條路徑（不一定是簡單路徑）標記從s可到達的所有頂點，而該路徑的總成本是5的倍數。

我如何跟蹤已經訪問過的路徑的總成本？ 我一直在研究無向加權圖中的BFS，並嘗試過在這里使用它，但是大多數BFS參考文獻都着眼於尋找最短路徑（而不是將其保持5的倍數 ）。

Answer 1

您如何看待下一個算法？

讓我們考慮基於源圖的新的有向圖。 為源圖中的每個頂點v在新圖中創建5新頂點v[0], v[1], ..., v[4] ，對應於除以5的模塊。 然后，如果頂點v和u通過權重為w的邊在源圖中連接，則在v[i]和u[(i + w) % 5] ， u[j]和v[(j + w) % 5] ，其中i = 0..4, j = 0..4 。 然后從v[0]運行BFS ，其中v是源圖中的起始頂點。

考慮索引為0頂點，例如v[0] 。 它們每個都對應於源圖中頂點v的5的長度倍數的路徑。 在BFS之后標記為從起始頂點可到達的所有此類頂點均構成了答案。 總復雜度是線性的。