插入排序算法的大小：迭代和遞歸

Question

這里我有兩個插入排序算法。 我很難找到這兩種形式的插入排序的大O. 我有一個迭代形式和一個遞歸形式。 我錯誤地說迭代形式是n ^ 2並且遞歸形式是n ^ 2。 如果我錯了，他們是什么，為什么？ 你是怎么回答這個問題的？

  public void iterativeSort(int[] list) {
        start = System.currentTimeMillis();
        for (int i = 1; i < list.length; i++) {
            count++;
            int temp = list[i];
            int j;

            for (j = i - 1; j >= 0 && temp < list[j]; j--) {
                list[j + 1] = list[j];
            }

            list[j + 1] = temp;
            finish += System.currentTimeMillis() - start;
        }

    }

    public static void recursiveSort(int array[], int n, int j) {
        finish += System.currentTimeMillis() - start;
        start = System.currentTimeMillis();
        if (j < n) {

            int i;
            count++;
            int temp = array[j];

            for (i = j; i > 0 && array[i - 1] > temp; i--) {
                array[i] = array[i - 1];
            }

            array[i] = temp;

            recursiveSort(array, n, j + 1);
        }
    }

Answer 1

是的，你是對的，兩個實現都需要O(n^2)時間。 您不可能通過從遞歸實現切換到迭代實現來減少算法的運行時間，反之亦然。 這不抱空間使用率雖然。

如何確定運行時間為O(n^2) 。 迭代解決方案更容易，更明顯。 通常，當您嵌套for -loops而沒有任何特定的中斷條件並且您正在運行一小部分線性元素時，運行時間是二次的。 讓我們進一步分析吧。 for (int i = 1; i < list.length; i++) in for (int i = 1; i < list.length; i++)的條件for (int i = 1; i < list.length; i++)多少次為true ？ 答案是n-1 ，因為你從第二個元素開始直到結束。 例如，如果n=5 ，則對於i = 1, 2, 3, 4 （由於基於0的索引），條件將為true ，恰好為n-1次，在此示例中表示為4.現在將多少次內循環條件評估為true ？ 在第一次運行時，它將執行一次，因為i = 1且j = 0並且在一次迭代之后j將為-1 ，這將破壞該條件。 在第二次迭代中，它將被執行兩次，在第三次三次等，最多n - 1次。 所以我們基本上得到的是1 + 2 + 3 + ... + (n - 1) ，你很容易證明它等於(n-1)n/2) 。 由於你在big-O中刪除常量，因此運行時間為O(n^2) 。

現在，由於遞歸，對第二個實現的分析可能看起來更復雜，但實際上並沒有太大的不同。 內循環的邏輯for (i = j; i > 0 && array[i - 1] > temp; i--)幾乎相同，因為它執行一次，當j = 1 ，兩次執行j = 2等。我們將遞歸調用該方法多少次？ 再次n - 1次，因為第一次調用是j = 1 ，因此j < n （假設n很大），然后recursiveSort(array, n, j + 1); 。 現在j = 2再次小於n ，所以我們將遞歸地調用函數直到j == n ，所以恰好n - 1次。 假設內循環嵌套在O(n) ，我們得到相同數量的迭代，即1 + 2 + 3 + ... + ( n-1 ) ，再次導致O(n^2) 。

因此我們非正式地證明了這兩種算法具有相同的漸近運行時間。 在這種情況下，我們可以認為它們相同嗎 不 。 這是因為每個遞歸調用都會在堆棧上保留額外的空間，這意味着遞歸解決方案需要O(n)空間，而迭代解決方案需要O(1) 。 在這個意義上，我們可以說迭代解決方案更好，通常是這種情況，但遞歸的解決方案可能更具可讀性（這不是這里的情況）。