為什么我不能僅在Agda中使用索引來定義“ Eq”？

Question

為什么我不能像這樣定義更明確的異構相等版本：

data Eq  : (A : Set) -> A -> A -> Set where
  Refl : (T : Set) -> (x : T) -> Eq T x x

這樣做時，出現以下錯誤：

The type of the constructor does not fit in the sort of the
datatype, since Set₁ is not less or equal than Set
when checking the constructor Refl in the declaration of Eq

我知道此錯誤與宇宙層次結構有關，但我不知道到底是什么。 它是否認為Eq T xx應該是Set_1 ，或者應該但不應該？ 為什么Set_1什么？

Answer 1

如果要定義的類型的索引類型在Set n ，則類型本身必須至少在Set n 。 在您的情況下，索引A類型為Set ，因此其類型 位於 Set 1 （因為Set : Set 1 ）。 因此， Eq本身至少應處於Set 1 。

請注意，如果A : Set是參數而不是索引 ，則上述內容將不適用，這就是為什么在Set可以使用同質相等的原因。