計算包含另一個間隔的間隔數？

Question

給定兩個列表，每個列表包含N個間隔（數字行的子集），每個間隔具有起始點和端點的形式。 一個列表中有多少對這些間隔包含來自另一個列表的間隔？

例如：

如果列表A是{(1,7), (2,9)} ，列表B是{(3,6), (5,8)}

那么A的間隔包含B中的間隔的對數將是3對：

(1,7),(3,6)
(2,9)(3,6)
(2,9)(5,8)

目標是射擊O（n log n）。

我的算法目前首先按x坐標排序，然后將其作為一個列表。 然后按y坐標對列表進行排序，並計算兩個列表之間的反轉。 但我的問題是為什么這有效？ 任何見解將不勝感激。

我現在可視化的方式是以下幾何方式（其中每個線的交點都是num反轉的計數）：

注意：我不確定如何在列表列表中檢查反轉。 只是試圖獲得一個給出O（n log n）的方法。 如果有任何其他方法樂於聽取建議。

Answer 1

如果您決定嘗試使用樹/網格方法，我將解釋它是如何工作的。 對於您的任務，您不需要2D，而是需要一維間隔圖甚至網格。 讓我們選擇網格，因為它更清晰。

假設你的對是從1到100的整數。那么你可以買一個大小為100的數組。數組中的每個單元都包含空集（有序列表）。 見下圖：

現在我們開始在網格中添加間隔。 我們在2,9之間的所有網格單元中的1,7和2之間的所有網格銷售中添加1（1,2是ID，我們在每個插入的間隔增加1，以這種方式插入是低效的但是這可以是固定的）。

現在我們如何檢查B的間隔？ 我們只從第一個單元格中獲取每個ID，並檢查它是否也在第二個單元格中。 由於單元格已設置，因此檢查采用O（log n）。 在最壞的情況下我們需要n O（log n）運算來檢查B中的一個區間在A內的重疊區間計數。

這可以擴展為使用間隔映射而不是網格（如果數字不是小整數）。 此外，如果您在A中有固定數量的間隔，並且沒有內存要求，那么如果我們用數組替換集合，則O（logN）可以變為O（1）。

Answer 2

我將回答第一個問題，為什么帶有反演的解決方案有效。 首先，我會澄清一件事。 您不應該計算所有反轉（線的交叉點），而只計算A列表中的元素和B列表中的元素之間的相交。 在你的例子中沒有區別，但我們假設A = {(1,7), (2,5)}和B = {(3,6), (5,8)} 。 如果我們在你的例子中可視化這些情況，那么將有2個交叉點，但我們正在尋找的只有1對，即（1,7），（3,6）。

現在讓我們假設我們有2個區間： I1=(x1,y1)和I2=(x2,y2) 。 I2包含在I1 。 這意味着x1 <= x2且y1 >= y2 。 現在，如果按x排序間隔列表，則I1將始終位於I2之前。 類似地，如果您按y選擇間隔列表，則I1將始終位於I2之后。 它還豆，如果我們連接I1 ， I2在第一個列表與I1 ， I2在第二個列表，則線必須跨越。

但是，我們假設x1 <= x2且y1 < y2 。 現在I1將在I2之前的第一個和第二個列表中。 如果我們連接I1 ， I2與第一列表I1 ， I2在第二個列表，則線將永遠不會交叉。 同樣的情況是x1 > x2和y1 >= y2

以下是這些案例的可視化：