用兩個遞歸情況確定遞歸方法的Big O？

Question

我目前正在努力計算Big O的遞歸指數函數，只要n％2 == 0，它就會獲得一個快捷方式。代碼如下：

public static int fasterExponent(int x, int n){
    if ( n == 0 ) return 1;
    if ( n%2 == 0 ){
        int temp = fasterExponent(x, n/2);
        return temp * temp;
    }
    return x * fasterExponent(x, --n); //3
}

我理解，如果沒有（n％2 == 0）的情況，這個遞歸指數函數將是O（n）。 包含（n％2 == 0）的情況會加快執行時間，但我不知道如何確定它的復雜性和它的證據c的值。

Answer 1

答案是O（log n）。

原因： fasterExponent(x, n/2)這是每一步輸入的一半，當它達到0時，我們就完成了。 這顯然需要log n步驟。 但是fasterExponent(x, --n); ？ 我們在輸入是奇數時執行此操作，在下一步中它將是偶數並且我們回退到n / 2情況。 讓我們考慮每次將n除以2時必須執行此操作的最壞情況。然后，每次執行第一個遞歸步驟時，我們都會執行第二次遞歸步驟。 所以我們需要2 * log n個操作。 那仍然是O（log n）。 我希望我的解釋有所幫助。

Answer 2

可以直觀地看出，在每個階段，您都將問題規模縮小了一半。 例如，要查找x ⁴ ，您會找到x ² （我們稱之為A），並將結果返回為A * A. 再次通過將x ²除以x和x得到x 2。

考慮將兩個數相乘作為基本運算，您可以看到重復是：

T(N) = T(N/2) + O(1)
Solving this recurrence(using say the Master Theorem) yields:
T(N) = O(logN)