遞歸解決方案的Big-O復雜性

Question

我有一個簡單的遞歸解決方案，如下所示：

public int countPaths(int x, int y) {

    if(x == 0 && y == 0) {
        return 0;
    } else if(x == 0) {
        return 1;
    } else if(y == 0) {
        return 1;
    } else {
        int count = countPaths(x-1, y);
        count += countPaths(x, y-1);
        return count;
    }
}

這是為了解決書中的以下問題： 破解編碼面試

想象一個機器人坐在X by Y網格的左上角。 機器人只能在兩個方向上移動：向右和向下。 機器人從（0,0）到（X，Y）有多少種可能的路徑？

我試圖確定運行時的復雜度，我相信它是O（x + y）。 我通過使用遞歸樹來實現這一點，例如，如果x = 2和y = 2

該樹的最大深度為（x + y），並且在每個步驟中完成的工作都是一個常數。 因此，完成的最大工作量為（x + y）* c，因此運行時復雜度為O（x + y）

問題1：我正確嗎？ 我相信我計算出的上限不夠嚴格

問題2：接下來，如果我要使用備忘錄來改善運行時間，從而不重復計算子問題，那么Big-o所述的運行時復雜度將如何改變？

Answer 1

雖然樹的深度確實是O（x + y），但每一層上的節點越來越多，而節點的數量決定了復雜性，而不是樹的深度。

如果寫下運行時的重復關系，則會得到：

T(0, y) = T(x, 0) = 1
T(x, y) = T(x-1, y) + T(x, y-1) + 1

如果忽略第二個方程式的+1（只能使運行時更好），則會得到與代碼最初計算的函數相同的函數，即select（x + y，y）。

對於x = y，這是中心二項式系數，大約為4 ^ x / sqrt（pi * x），即使x的值適中，其值也足以使算法無效。

使用備忘錄，您需要為x和y的每個值進行恆定量的工作，因此復雜度為O（xy）。

Answer 2

如果您根據評估給定對(x, y)的計數所需的加法數來評估復雜性，則會得到遞歸

A(x,y) = A(x-1,y) + A(x,y-1) + 1 ，

其中A(x,0) = A(0,y) = 0 。

設置A(x,y) = P(x,y) - 1遞歸變為

P(x,y) - 1 = P(x-1,y) - 1 + P(x,y-1) - 1 + 1,

要么

P(x,y) = P(x-1,y) + P(x,y-1),

P(x,0) = P(0,y) = 1 ，它給出了經典的Pascal三角形，並且

A(x,y) = (x+y)!/(x!y!) - 1.

您還可以處理許多遞歸函數調用，

C(x,y) = C(x-1,y) + C(x,y-1) + 2,

其中C(0,y) = C(x,0) = 0 。

您將通過設置C(x,y) = 2P(x,y) - 2來解決它，並獲得

C(x,y)= 2(x+y)!/(x!y!)-2.

關於漸進復雜度，這沒有區別。 沒有比O((x+y)!/x!y!)更簡單的公式了。

使用備忘錄時，每次求值（ x, y>0 ）僅花費一次加法或兩次調用，並且假設存儲/檢索值的時間恆定，則總復雜度要好得多O(xy) 。

Answer 3

根據@Anonymous的寶貴輸入，我們知道重復關系為：

T(x, y) = T(x-1, y) + T(x, y-1) + 1
Abusing (which is ok in Big-O analysis) the notation, let x = y 
T(x, x) = 2 * T(x-1, x) = 2 * 2 * T(x-2, x) = ... = 2 * ... * 2 * T(0, x)
        = O(2^x)

所以運行時的復雜度是

O（2 ^ n） ; 其中n = max（x，y）

有了備忘錄，我明白了，謝謝@Anonymous，它應該是O（xy）