嵌套循環的Big-O遞歸復雜度

Question

准備考試我在一個舊考試中遇到了這個問題：

此函數最壞的情況/ big-O復雜度是多少？

float foo(float[] A) {
    int n = A.length;
    if (n == 1) return A[0];
    float[] A1 = new float[n/2];
    float[] A2 = new float[n/2];
    float[] A3 = new float[n/2];
    float[] A4 = new float[n/2];

    for (i = 0; i <= (n/2)-1; i++) {
        for (j = 0; j <= (n/2)-1; j++) {
            A1[i] = A[i];
            A2[i] = A[i+j];
            A3[i] = A[n/2+j];
            A4[i] = A[j];
        }
    }

    return foo(A1)
         + foo(A2)
         + foo(A3)
         + foo(A4);
}

（是的，代碼沒有意義，但這正是它的編寫方式）。

讓我感到困擾的是，每個遞歸級別的n的總大小加倍，但是建議的答案（最終結果為O(log n * n^2) ）忽略了這一部分。 我誤會了嗎？

編輯：用語法上正確的（但仍無意義的）代碼替換了半偽代碼。

Answer 1

如果您解決此遞歸關系，則可以確定復雜性。

T(n) = 4T(n/2) + O(n²)

用

T(1) = c

Answer 2

好吧，我終於明白了。

每次遞歸時，函數調用的次數是上次的4倍，因此，如果將遞歸級別定義為m則每個級別的函數調用次數為

每次遞歸時，我們還將數組的大小減半，因此每個函數調用的工作量為

在每個遞歸級別上，總共要做的工作是：

實際上4^m與(2^m)^2 ：

因此，工作量可以寫成n^2 ：

有log n遞歸級別。

因此，總工作量為O(n^2 * log n) ，這是因為有4個遞歸調用。

如果只有2個遞歸調用，則每個級別的工作量為

我們不能很好地減少（但是如果我的數學正確的話，結果是O(n^2) ）。