帶遞歸的嵌套循環的大 O 時間復雜度

Question

以下代碼片段的時間復雜度應該是多少

void doSomething(int n) {
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        for (int j = 0; j < n; j++) {
            doSomeOtherStuff(n);
            doSomething(n - 1);
        }
    }
}

void doSomeOtherStuff(int n) {
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        //did some other stuff
    }
}

復雜度計算是否為：n^2(n + n^2) = O(n^4) 是否正確？ 如果不是請解釋

Answer 1

根據我對第一個答案的評論，我認為該算法的復雜性比 O(n^4) 差得多。 @ToddCaywood 實際上首先寫下了我腦海中的想法。 這個算法實際上是這樣的：

O(n^(n^2))

一個不可能的壞結果。 對於大型數據集，這件事將進入太空，永遠不會回來。

我第一次看到的方式是，每一級遞歸都會添加另一組 NESTED for循環。 對於n==10 ，您有 20 個嵌套的 for 循環。 隨着n增長，它只會越來越深。

Answer 2

是的，O(n^4) 是正確的。

doSomeOtherStuff(n)顯然是復雜度O(n)，做了n次，也做了n次，所以里面的部分是O(n^3)。

記住這一點，doSomething(n) 的復雜性 [我們稱之為 T(n)] = O(n^3) + T(n-1) 其中 T(n-1) = O(n^3) + T (n-2) 等擴展到 (n-1)(O(n^3)) + O(n^3) = n(O(n^3)) = O(n^4)。

如果你需要一個正式的證明，你可以很容易地遵循上面的邏輯，在需要的地方擴展。