這些嵌套循環的大O.

Question

我對Big-O領域很陌生，所以請耐心等待。 我一直在尋找它，但我仍然需要做很多工作才能完全理解它。
我在練習練習中遇到了這些嵌套的for循環，沒有任何解決方案，它們看起來很復雜。 所以，任何幫助將不勝感激。

1）

int sum=0;
for(int i=0; i < n^2; i++) { // n+1
    for(int j = n-1; j >= n-1-i; j–-) { // n(n+1)/2 ?
        sum = i+j; // n(n+1)/2 ?
        System.out.println(sum); // n(n+1)/2 ?
    }
}

大O =？

2）

int sum=0;
for(int i=1; i <= 2^n; i=i*2) { // log(n)
    for(int j=0; j <= log(i); j++) { // log(n(n+1)/2) ?
        sum = i+j; // log(n(n+1)/2) ?
        System.out.println(sum); // log(n(n+1)/2) ?
    }
}

大O =？

3）

int sum = 0; int k = 23;
for(int i=k; i <= 2^(n−k); i=i*2) { // log(n)
    for(int j=2^(i−k); j < 2^(i+k); j=j*2) { // log(log(n)) ?
        sum = i+j; // log(log(n)) ?
        System.out.println(sum); // log(log(n)) ?
    }
}

大O =？

4）

int sum=0;
for(int i=2n; i>=1; i=i/2) {
    for(int j=i; j>=1; j=j/2) {
        sum = i+j;
        System.out.println(sum);
    }
}

大O =？

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編輯：
- 更正了＃4。 對不起，搞砸了。
- 日志的基數為2。
- 這里的^表示“對權力”，而不是xor。

Answer 1

stackoverflow （和答案） 上有很多問題，如“嵌套循環的大O” 。

但是，你會得到我的回答。 但首先有一個符號問題：你將這個問題標記為java。 在代碼中我看到類似2ⁿ或n²東西。 在java中這意味着xor ，但我認為你的意思是Math.pow(2,n) ，所以對於這個答案，我將它視為冪運算符。

1.  int sum=0; for(int i=0; i < n^2; i++) { // outer loop for(int j = n-1; j >= n-1-i; j–-) { // inner loop sum = i+j; // inner operations System.out.println(sum); } } 

   內部操作在O(1)運行，因此我只計算它們被調用的頻率。

   • 外環運行n²次。
   • 對於每個i （來自外循環），內循環運行i次。

   總共得到0+1+...+(n²-1)+n² = n²(n²+1)/2 。 這是Θ(n⁴) 。

2.  int sum=0; for(int i=1; i <= 2^n; i=i*2) { // outer loop for(int j=0; j <= log(i); j++) { // inner loop sum = i+j; // inner operations System.out.println(sum); } } 

   • 外環運行n次，因為2⋅2⋅2⋅...⋅2 （ n次）等於2 ⁿ 。
   • 假設對數的底數為2，內循環對於每個i = 2 ^k （1≤k≤n）運行k次。

   總共得到1+2+3+...+n-1+n = n(n+1)/2 。 這是Θ(n²) 。

3.  int sum = 0; int k = 23; for(int i=k; i <= 2^(n−k); i=i*2) { // outer loop for(int j=2^(i−k); j < 2^(i+k); j=j*2) { // inner loop sum = i+j; // inner operations System.out.println(sum); } } 

   • 外部循環運行m倍m最小，使得k⋅2 m > 2 nk成立。 這可以寫成k⋅2 k ⋅2 m > 2 n 。 k必須是positiv（否則外循環將永遠運行）。 假設k由O(n)限定（常數也在O(n) ），則m也由O(n)界定。
   • 無論i或n是什么，內循環總是運行2⋅k次調整。 這是在O(1)對於恆定的k和在O(n)用於k所界定O(n)

   在總你O(n)為常數k和O(n²)的k在O(n)

4.  int sum=0; for(int i=2n; i>=1; i=i/2) { // outer loop for(int j=i; j>=1; j=j/2) { // inner loop sum = i+j; // inner operations System.out.println(sum); } } 

   • 外部循環運行log(n)次，就像情況2一樣（反過來）
   • 內循環運行j次（基本上）2的每個冪在1和2n之間。

   假設n = 2 k （意味着log(n) = k ），你總得到
   2 k+1 +2 k +2 k-1 +...+2 2 +2 1 +2 0 =2 k+2 -1=4n-1 。 所以這在O(n) 。 這也適用於n而不是2的冪。

Answer 2

使用Sigma表示法有條不紊地為迭代算法找到解決方案：

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使用base 2作為以下日志：

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