將此邏輯語句轉換為合取范式

Question

我正在努力將此句子轉換為CNF：

（A∨B）⇔（C∧D）。

我已經嘗試使用雙條件消除邏輯規則消除⇔。

（A∨B）→（C∧D）∧（C∧D）→（A∨B）。

然后，我用隱含消除邏輯規則消除了→。 我現在有

¬（A∨B）∨（C∧D）¬¬（C∧D）∨（A∨B）。

我幾乎被困在這里。 我的教授說我應該使用分配規則來減少句子。 我似乎找不到符合“分配原則”要求的任何內容。 因此，在執行一些我不知道的邏輯規則之前，我似乎無法使用“分布”規則。

我在這里想念什么？ 堆棧溢出可以幫助我恢復到CNF的轉換嗎？

Answer 1

您從表達式開始：

• （A∨B）⇔（C∧D）。

您嘗試執行前幾個步驟。 在這里，我添加了括號以使其更加清楚正確：

• [（A∨B）→（C∧D）]∧[（C∧D）→（A∨B）]。 （根據⇔的定義）
• [¬（A∨B）∨（C∧D）]∧[¬（C∧D）∨（A∨B）]。 （按→的定義）

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將De Morgan求反定律應用於¬（A∨B）和¬（C∧D）：

• [（¬A∧B）∨（C∧D）]∧[（¬CC DD）∨（A∨B）]。

簡化右半部分：

• [（A∧）B）∨（C∧D）]∧[¬C∨¬D∨A∨B]。

∨在∨上的分布定律表明：X∨（Y∧Z）⇔（X∨Y）∧（X∨Z）。

我們將定律應用於左半部分，其中X =（¬A∧¬B），Y = C，Z = D：

• [[（（¬A∧¬B）∨C）∧（（¬A∧¬B）∨D）]∧[¬C∨¬D∨A∨B]。

將分配定律應用於左半部分的兩個子表達式：

• [[（A¬C）∧（¬B∨C）]∧[（AAD））（¬B∨D）]] [[CCA∨D∨A∨B]。

刪除多余的括號，因為∧是關聯的和可交換的：

• （¬A∨C）∧（¬B∨C）∧（¬A∨D）∧（¬B∨D）∧[¬C∨¬D∨A∨B]。

重新排列變量，我們的最終公式為合取范式（CNF）：

• （¬A∨C）∧（¬A∨D）∧（¬B∨C）∧（¬B∨D）∧（A∨B∨C∨DD）。