模運算中的多項式求值

Question

我需要反復評估形式的多項式

f（x）= c（0）+ c（1）* x + ... + c（k-1）* x ^（k-1）mod p

其中k是整數，p是大質數，而c（0），...，c（p）在1到p之間。 對於我的應用程序，k = 10，p應該大於1000。

我寧願在Python中以最快的速度執行此操作。 我對Python中的模算術了解不足以有效地實現這一點（例如，如何利用我們可以使用Mersenne素數p = 2 ^ q-1的情況下，應該使用乘法是寄存器移位，請避免加法不同數量級的整數...）。

動機：不依賴k的哈希，請參閱https://en.wikipedia.org/wiki/K-independent_hashing 。 這似乎是一門非常流行的學術學科，但是我找不到k> 2的任何實現。

Answer 1

通常，您可以使用以下構造來計算多項式的值：

def value(poly, x):
  """Evaluates a polynomial POLY for a given x.

  The polynomial is expressed as a list of coefficients, with 
  the coefficient for x ** N at poly[N].

  This means that x ** 2 + 2*x + 3 is expressed as [3, 2, 1].
  """
  v = 0

  # Bit messy, but we're basically generating the indexes of 
  # our polynomial coefficients from highest to lowest
  for coeff in reverse(poly):
    v = v * x + coeff

  return v

要計算此模值，我們可以簡單地將內部循環更改為v = v * x + poly[ix] % p （並將模數作為參數p傳遞）。

我們可以證明示例示例多項式（x ^ 2 + 2x + 3）是通過展開循環而正確計算的，並且看到我們擁有的是(((1) * x + 2) * x + 3) （每個括號級別是一個循環），可以簡化為1 * x * x + 2 * x + 3，這顯然是期望的多項式。

通過使用它，我們永遠都不會以大於p * x的中間值結束。