給定一個遞歸算法可以解決遞歸關系，並給出最壞情況下的時間復雜度，對嗎？

Question

在最壞的情況下，根據n = 2N，N> = 0求出時間復雜度。

找到遞歸關系並解決它。

 public static void xpto(v, n){
    if (n <= 1) 
        return;
    n=n/2;
    for(i=0;i<n;i=i+1) 
        v[i] = v[2i] + v[2i +1];
    xpto(v, n);
}

T(1) = 1

遞歸方程式：

T(n) = 1 + 1 + (n + 1) + n + T(n/2)

T(n) = 3 + 2n + T(n/2)

T(n/2) = 3(2) + 2n(2) + T(n/4)

T(n/4) = 3(3) + 2n(3) + T(n/8)

T(n/8) = 3(4) + 2n(4) + T(n/16)

找到圖案

T(n/8) = 3(4) + 2n(4) + T(n/2^4)

以k表示的一般復發：

T(n) = 3(k) + 2n(k) + T(n/2^k)

if T(1) = 1 and T(n/2^k) we need to change 2^k by n, this means:

2^k = n

T(n) = 3(log n) + 2n(log n) + 1

遞歸關系已解決。

時間復雜度，在最壞的情況下是O（log（n））

問題：

• 我這樣做對嗎？
• n = 2N的什么函數，N> = 0表示什么？

Answer 1

我不確定您如何獲得這些常數，但是為了簡單起見，我們假設操作v[i] = v[2i] + v[2i +1]; 的成本是1，其他一切都是免費的。 （可以輕松調整它，而不會損害以下計算的概念）。

基於此，

T(n) = n/2 + T(n/2)

基於此，我們可以使用主定理案例1，其中c=1, a=1,b=2 ，並得出T(n)在Theta(n^1)=Theta(n)結論

Answer 2

首先，如果您得到： T(n) = 3(log n) + 2n(log n) + 1作為最終解決方案，那么由於該項，最壞情況下的復雜度不是log n而是n(log n) 2n(log n) 。

根據您的初始遞歸關系： T(n) = 3 + 2n + T(n/2)我執行了以下操作：

Assume n = 2^k and g(k) = T(n) such that:
g(k) = g(k-1) + 2*2^k + 3 (from simply substituting n=2^k and change of function)
g(k) = sum(i=1 to k) of (2*2^i + 3)
g(k) = 2 * (sum(i=1 to k) of (2^i)) + 3k

Using geometric progression, common ratio = 2:
g(k) = 2 * (2(1-2^k) / (1-2)) + 3k
g(k) = -4 + 4*2^k + 3k

Since we initially assumed n = 2^k, this means k = log n:
T(n) = -4 + 4n + 3(log n)
Hence the worst case complexity is O(n)

對於問題的第二部分：

n = 2N，其中N> = 0只是意味着n是一組偶數，因為任何正整數乘以2都將是偶數。