给定一个递归算法可以解决递归关系，并给出最坏情况下的时间复杂度，对吗？

Question

在最坏的情况下，根据n = 2N，N> = 0求出时间复杂度。

找到递归关系并解决它。

 public static void xpto(v, n){
    if (n <= 1) 
        return;
    n=n/2;
    for(i=0;i<n;i=i+1) 
        v[i] = v[2i] + v[2i +1];
    xpto(v, n);
}

T(1) = 1

递归方程式：

T(n) = 1 + 1 + (n + 1) + n + T(n/2)

T(n) = 3 + 2n + T(n/2)

T(n/2) = 3(2) + 2n(2) + T(n/4)

T(n/4) = 3(3) + 2n(3) + T(n/8)

T(n/8) = 3(4) + 2n(4) + T(n/16)

找到图案

T(n/8) = 3(4) + 2n(4) + T(n/2^4)

以k表示的一般复发：

T(n) = 3(k) + 2n(k) + T(n/2^k)

if T(1) = 1 and T(n/2^k) we need to change 2^k by n, this means:

2^k = n

T(n) = 3(log n) + 2n(log n) + 1

递归关系已解决。

时间复杂度，在最坏的情况下是O（log（n））

问题：

• 我这样做对吗？
• n = 2N的什么函数，N> = 0表示什么？

Answer 1

我不确定您如何获得这些常数，但是为了简单起见，我们假设操作v[i] = v[2i] + v[2i +1]; 的成本是1，其他一切都是免费的。 （可以轻松调整它，而不会损害以下计算的概念）。

基于此，

T(n) = n/2 + T(n/2)

基于此，我们可以使用主定理案例1，其中c=1, a=1,b=2 ，并得出T(n)在Theta(n^1)=Theta(n)结论

Answer 2

首先，如果您得到： T(n) = 3(log n) + 2n(log n) + 1作为最终解决方案，那么由于该项，最坏情况下的复杂度不是log n而是n(log n) 2n(log n) 。

根据您的初始递归关系： T(n) = 3 + 2n + T(n/2)我执行了以下操作：

Assume n = 2^k and g(k) = T(n) such that:
g(k) = g(k-1) + 2*2^k + 3 (from simply substituting n=2^k and change of function)
g(k) = sum(i=1 to k) of (2*2^i + 3)
g(k) = 2 * (sum(i=1 to k) of (2^i)) + 3k

Using geometric progression, common ratio = 2:
g(k) = 2 * (2(1-2^k) / (1-2)) + 3k
g(k) = -4 + 4*2^k + 3k

Since we initially assumed n = 2^k, this means k = log n:
T(n) = -4 + 4n + 3(log n)
Hence the worst case complexity is O(n)

对于问题的第二部分：

n = 2N，其中N> = 0只是意味着n是一组偶数，因为任何正整数乘以2都将是偶数。