圖與 BFS 和 DFS 樹的等價

Question

我有這個問題，我無法證明。 有人可以對這個問題提供一些見解嗎

我們有一個連通圖 G = (V,E)，並且作為特定的頂點 u ∈ V。假設我們計算一個以 u 為根的深度優先搜索樹，並獲得一個包含 G 的所有節點的樹 T。假設我們然后計算以 u 為根的廣度優先搜索樹，並得到相同的樹 T。 證明 G = T。 （換句話說，如果 T 既是深度優先搜索樹又是以 u 為根的廣度優先搜索樹，則G 不能包含任何不屬於 T 的邊。）

Answer 1

來自 伯克利 CS 課程解決方案

• 假設輸入圖G是無向且連通的，但不是樹。
• 那么G必須包含一個循環C 。 假設C由 k 個節點v1, v2, ..., vk 組成，即C是循環v1 → v2 → 。 . . → vk → v1 。
• 現在，在DFS樹中，節點v1、v2、...、vk都將位於從根到葉的同一路徑上。
• 為什么？ 假設vf是這些節點中第一個被訪問的節點。 然后，必須在explore(vf)期間的某個時刻訪問剩余的節點，因為其他vi都是強連接的。
• 但是，在BFS樹中，節點v1、v2、...、vk至少會形成兩個分支，從最先訪問的節點開始（想象在循環上執行BFS ）。 因此，當輸入圖是一棵樹時， BFS和DFS產生相同的樹。

@dtldarek 在math.stackechange 中的另一種方法：

• 這是真的，如果圖是簡單的、連通的和無向的，並且非常基本的觀察是 G 是一棵樹，當且僅當在 BFS/DFS 搜索中遍歷每條邊。
• 假設TBFS=T=TDFS，但是存在e∈E(G)∖E(T)，即一條邊沒有被任何算法訪問過。
• 這條邊沒有被遍歷的唯一原因可能是另一邊的頂點已經被訪問過，但是如果有一個 DFS-back-edge 那么 BFS 之前肯定已經使用過它。

Answer 2

一旦您了解了 BFS 和 DFS 以及它們之間的基本區別，證明就非常簡單了。

BFS VS DFS

dfs 和 bfs 之間的主要區別在於它們如何從根開始構建樹。不同之處在於一旦訪問了一個頂點，如何訪問相鄰頂點。讓我們以簡單的方式 1 x 1 解決每個遍歷。

1.BFS

1.BFS從訪問root開始。 然后訪問與根相距 1 條邊的頂點。 假設有 4 個頂點 a,b,c,d 與 root 相鄰。那么 bfs 將在訪問 root 后立即訪問這 4 個頂點。

2.一旦bfs完成訪問距離根1條邊的頂點。 然后取root之后訪問的第一個頂點並重復相同的過程。哪個頂點是第一個，這是由隊列數據結構處理的。

這就是 BFS 也稱為層序遍歷的原因，當您使用它來遍歷樹時。因為它逐層訪問頂點，並且在樹的情況下，層級是明確定義的。

分布式文件系統

1.DFS從訪問根開始。 訪問根后不會訪問與根相鄰的所有頂點，而是進入圖的深度。

2.一旦訪問root，它只訪問與root相鄰的頂點，然后從該頂點本身開始dfs，即在訪問與root相鄰的所有頂點之前進入深度。 只有在它開始 dfs 的方向深度上訪問了頂點后，它才會出現在它們身上。

需要注意的重要一點是，BFS 以自上而下的方式構建樹，而 DFS 以自下而上的方式構建樹

如果兩棵樹相同，那么當你的圖本身是樹時就是這種情況。樹只能是特殊的兩種類型。

這僅適用於像這樣的傾斜樹的圖：

root
|
|
V1
|
|
V2
|
|
.
.
.
Vn

在這種情況下， bfs 和 dfs 都朝着一個方向發展。

或者像這樣的星形拓撲圖：

               V1
               /
              /
   Vn-----root------V2
          |  \
          |   \
          V4  V3

陳述證明

與上述兩棵樹不同的任何其他樹都會像在第 x 層存在中間頂點 v 並且它在第 x+1 層有 1 個以上的子節點（比如 2）c1 和 c2，bfs 會做的是訪問 v 然后訪問 c1和 c2，但是 dfs 會做的是訪問 v，然后是 c1，然后是 c1 的孩子，所以很明顯，在這兩種情況下，遍歷不會相同。