通過庫里 - 霍華德通信的德摩根在哈斯克爾的定律

Question

我在Haskell實施了四個De Morgan定律中的三個：

notAandNotB :: (a -> c, b -> c) -> Either a b -> c
notAandNotB (f, g) (Left x)  = f x
notAandNotB (f, g) (Right y) = g y

notAorB :: (Either a b -> c) -> (a -> c, b -> c)
notAorB f = (f . Left, f . Right)

notAorNotB :: Either (a -> c) (b -> c) -> (a, b) -> c
notAorNotB (Left f)  (x, y) = f x
notAorNotB (Right g) (x, y) = g y

但是，我不認為可以實施最后一項法律（有兩個居民）：

notAandBLeft  :: ((a, b) -> c) -> Either (a -> c) (b -> c)
notAandBLeft  f = Left  (\a -> f (a, ?))

notAandBRight :: ((a, b) -> c) -> Either (a -> c) (b -> c)
notAandBRight f = Right (\b -> f (?, b))

我看來，有兩種可能的解決方案：

1. 使用undefined代替? 。 這不是一個好的解決方案，因為它是作弊。

2. 使用單態類型或有界多態類型來編碼默認值。

    notAandBLeft :: Monoid b => ((a, b) -> c) -> Either (a -> c) (b -> c) notAandBLeft f = Left (\\a -> f (a, mempty)) notAandBRight :: Monoid a => ((a, b) -> c) -> Either (a -> c) (b -> c) notAandBRight f = Right (\\b -> f (mempty, b)) 

   這不是一個好的解決方案，因為這是一個比德摩根定律更弱的法律。

我們知道De Morgan的定律是正確的，但我認為最后的定律不能用Haskell編碼是正確的嗎？ 這對庫里 - 霍華德同構有什么看法？ 如果每個證據都不能轉換成等效的計算機程序，那么它並不是真正的同構，對吧？

Answer 1

第四定律不是直覺主義的 。 你需要被排除在中間的公理：

lem :: Either a (a -> c)

或皮爾斯定律：

pierce :: ((a -> c) -> c) -> a

證明這一點。

Answer 2

有一點讓我感到驚訝的是，你似乎沒有在任何地方使用定義或任何否定的屬性。

在閱讀了關於CHI的Haskell Wikibooks文章之后，這里有一個證據，假設你有一個排除中間的定律作為一個定理：

exc_middle :: Either a (a -> Void)

並且notAandB de Morgan法律的證明將如下：

notAandB' :: Either a (a -> Void) -> ((a,b) -> Void) -> Either (a -> Void) (b -> Void)
notAandB' (Right notA) _ = Left notA
notAandB' (Left a)     f = Right (\b -> f (a,b))

notAandB = notAandB' exc_middle