Haskell中的庫里悖論？

Question

Curry 悖論（以與目前的編程語言相同的人命名）是一種可能在錯誤邏輯中的構造，它允許人們證明任何事情。

我對邏輯一無所知，但它有多難？

module Main where

import Data.Void
import Data.Function

data X = X (X -> Void)

x :: X
x = fix \(X f) -> X f

u :: Void
u = let (X f) = x in f x

main :: IO ()
main = u `seq` print "Done!"

它肯定會循環。 （GHC怎么知道？！）

% ghc -XBlockArguments Z.hs && ./Z
[1 of 1] Compiling Main             ( Z.hs, Z.o )
Linking Z ...
Z: <<loop>>

• 這是忠實的翻譯嗎？ 為什么？
• 我可以在沒有fix或遞歸的情況下做同樣的事情嗎？ 為什么？

Answer 1

庫里悖論的編碼看起來更像這樣：

x :: X
x = X (\x'@(X f) -> f x')

X確實可以讀作“如果X為真，則存在矛盾”，或者等效地，“ X為假”。

但是使用fix來證明X並沒有真正的意義，因為fix作為推理原則是公然不正確的。 庫里的悖論更加微妙。

您如何實際證明X ？

x :: X
x = _

X是一個條件命題，所以你可以先假設它的前提來顯示它的結論。 此邏輯步驟對應於插入 lambda。 （建設性地，蘊涵證明是從前提證明到結論證明的映射。）

x :: X
x = X (\x' -> _)

但是現在我們有了一個假設x':: X ，我們可以再次展開X的定義得到f:: X -> Void 。 在 Curry 悖論的非正式描述中，沒有明確的“展開步驟”，但在 Haskell 中，它對應於當X是假設時新類型構造函數上的模式匹配，或者當X是目標時應用構造函數（事實上，正如我們上面做了）：

x :: X
x = X (\x'@(X f) -> _)

最后，我們現在有了f:: X -> Void和x':: X ，所以我們可以通過 function 應用程序推導出Void ：

x :: X
x = X (\x'@(X f) -> f x')