加權圖的 BFS 算法 - 尋找最短距離

Question

我已經看過很多關於這個主題的帖子（即post1 、 post2 、 post3 ），但沒有一個帖子提供了備份相應查詢的算法。 因此，我不確定接受這些帖子的答案。

在這里，我提出了一種基於 BFS 的最短路徑（單源）算法，該算法適用於非負加權圖。 任何人都可以幫助我理解為什么 BFS（根據以下基於 BFS 的算法）不用於此類問題（涉及加權圖）！

算法：

SingleSourceShortestPath (G, w, s):
    //G is graph, w is weight function, s is source vertex
    //assume each vertex has 'col' (color), 'd' (distance), and 'p' (predecessor) 
        properties

    Initialize all vertext's color to WHITE, distance to INFINITY (or a large number
        larger than any edge's weight, and predecessor to NIL
    Q:= initialize an empty queue

    s.d=0
    s.col=GREY     //invariant, only GREY vertex goes inside the Q
    Q.enqueue(s)  //enqueue 's' to Q

    while Q is not empty
        u = Q.dequeue()   //dequeue in FIFO manner
        for each vertex v in adj[u]  //adj[u] provides adjacency list of u
             if v is WHITE or GREY       //candidate for distance update
                  if u.d + w(u,v) < v.d        //w(u,v) gives weight of the 
                                               //edge from u to v
                      v.d=u.d + w(u,v)
                      v.p=u
                      if v is WHITE
                          v.col=GREY    //invariant, only GREY in Q
                          Q.enqueue(v)
                      end-if
                  end-if
              end-if
         end-for
         u.col=BLACK  //invariant, don't update any field of BLACK vertex.
                      // i.e. 'd' field is sealed 
    end-while

運行時：據我所知它是 O(|V| + |E|) 包括初始化成本

如果此算法類似於任何現有算法，請告訴我

Answer 1

由於偽代碼是帶有 FIFO 隊列的 Dijksta 算法，而不是始終根據距離排序的優先級隊列。 到目前為止，每個訪問過的（黑色）頂點已經計算出可能的最短距離的關鍵不變量不一定是真的。 這就是為什么優先隊列是計算（正）加權圖中距離的必要條件的原因。

您可以將算法用於未加權的圖，或者通過將權重為n每條邊替換為由權重n-1的邊連接的n-1頂點來使其不加權。

反例：

第一個Q.enqueue(s)之后的計算狀態：

第一次迭代后的計算狀態：

該圖作為反例的重要之處在於adj[u] = adj[S] = [F, M]而不是[M, F] ，因此F首先由Q.enqueue(v)排隊

第二次迭代后的計算狀態：

由於頂點F首先通過u = Q.dequeue()出隊（與使用距離優先隊列時不同），因此此迭代不會更新任何距離， F將變為黑色並且不變量將被違反。

最后一次迭代后的計算狀態：

Answer 2

我曾經也有同樣的困惑。 查看SPFA算法。 當作者早在 1994 年發表這個算法時，他聲稱它比具有 O(E) 復雜度的 Dijkstra 具有更好的性能，這是錯誤的。

您可以將此算法視為 Bellman-Ford 的變體/改進。 最壞情況的復雜度仍然是 O(VE)，因為一個節點可能會多次從隊列中添加/刪除。 但是對於隨機稀疏圖，它絕對優於原始的 Bellman-Ford，因為它跳過了許多不必要的放松步驟。

盡管“SP​​FA”這個名字在學術界似乎並不被廣泛接受，但由於它的簡單和易於實施，它一經發布就在 ACM 學生中非常受歡迎。 性能明智的 Dijkstra 是首選。

Answer 3

看起來你實現了 Dijkstra 的經典算法，沒有堆。 您正在通過每個邊緣瀏覽矩陣，然后查看是否可以改善距離。

Answer 4

通常人們會在沒有邊緣權重時說它是 BFS。

• BFS ：具有恆定邊權重的圖。

• Dijkstra ：帶有邊權重的圖（可以處理一些負邊，如果
  它沒有負循環）

• Bellman-ford 和SPFA ：負循環圖。

你的代碼是Dijkastra或SPFA變異，而不是一個簡單的BFS（雖然它是基於基於BFS alrorithm）