加权图的 BFS 算法 - 寻找最短距离

Question

我已经看过很多关于这个主题的帖子（即post1 、 post2 、 post3 ），但没有一个帖子提供了备份相应查询的算法。 因此，我不确定接受这些帖子的答案。

在这里，我提出了一种基于 BFS 的最短路径（单源）算法，该算法适用于非负加权图。 任何人都可以帮助我理解为什么 BFS（根据以下基于 BFS 的算法）不用于此类问题（涉及加权图）！

算法：

SingleSourceShortestPath (G, w, s):
    //G is graph, w is weight function, s is source vertex
    //assume each vertex has 'col' (color), 'd' (distance), and 'p' (predecessor) 
        properties

    Initialize all vertext's color to WHITE, distance to INFINITY (or a large number
        larger than any edge's weight, and predecessor to NIL
    Q:= initialize an empty queue

    s.d=0
    s.col=GREY     //invariant, only GREY vertex goes inside the Q
    Q.enqueue(s)  //enqueue 's' to Q

    while Q is not empty
        u = Q.dequeue()   //dequeue in FIFO manner
        for each vertex v in adj[u]  //adj[u] provides adjacency list of u
             if v is WHITE or GREY       //candidate for distance update
                  if u.d + w(u,v) < v.d        //w(u,v) gives weight of the 
                                               //edge from u to v
                      v.d=u.d + w(u,v)
                      v.p=u
                      if v is WHITE
                          v.col=GREY    //invariant, only GREY in Q
                          Q.enqueue(v)
                      end-if
                  end-if
              end-if
         end-for
         u.col=BLACK  //invariant, don't update any field of BLACK vertex.
                      // i.e. 'd' field is sealed 
    end-while

运行时：据我所知它是 O(|V| + |E|) 包括初始化成本

如果此算法类似于任何现有算法，请告诉我

Answer 1

由于伪代码是带有 FIFO 队列的 Dijksta 算法，而不是始终根据距离排序的优先级队列。 到目前为止，每个访问过的（黑色）顶点已经计算出可能的最短距离的关键不变量不一定是真的。 这就是为什么优先队列是计算（正）加权图中距离的必要条件的原因。

您可以将算法用于未加权的图，或者通过将权重为n每条边替换为由权重n-1的边连接的n-1顶点来使其不加权。

反例：

第一个Q.enqueue(s)之后的计算状态：

第一次迭代后的计算状态：

该图作为反例的重要之处在于adj[u] = adj[S] = [F, M]而不是[M, F] ，因此F首先由Q.enqueue(v)排队

第二次迭代后的计算状态：

由于顶点F首先通过u = Q.dequeue()出队（与使用距离优先队列时不同），因此此迭代不会更新任何距离， F将变为黑色并且不变量将被违反。

最后一次迭代后的计算状态：

Answer 2

我曾经也有同样的困惑。 查看SPFA算法。 当作者早在 1994 年发表这个算法时，他声称它比具有 O(E) 复杂度的 Dijkstra 具有更好的性能，这是错误的。

您可以将此算法视为 Bellman-Ford 的变体/改进。 最坏情况的复杂度仍然是 O(VE)，因为一个节点可能会多次从队列中添加/删除。 但是对于随机稀疏图，它绝对优于原始的 Bellman-Ford，因为它跳过了许多不必要的放松步骤。

尽管“SP​​FA”这个名字在学术界似乎并不被广泛接受，但由于它的简单和易于实施，它一经发布就在 ACM 学生中非常受欢迎。 性能明智的 Dijkstra 是首选。

Answer 3

看起来你实现了 Dijkstra 的经典算法，没有堆。 您正在通过每个边缘浏览矩阵，然后查看是否可以改善距离。

Answer 4

通常人们会在没有边缘权重时说它是 BFS。

• BFS ：具有恒定边权重的图。

• Dijkstra ：带有边权重的图（可以处理一些负边，如果
  它没有负循环）

• Bellman-ford 和SPFA ：负循环图。

你的代码是Dijkastra或SPFA变异，而不是一个简单的BFS（虽然它是基于基于BFS alrorithm）