關於連通性的圖論

Question

給定任何連通和無向圖G(V,E) ，表明G始終存在一個頂點v ，從圖中將其移除不會影響G的連通性，也就是說，每對頂點之間都存在一條路徑。 顯示O(|E|+|V|)時間算法以找到這樣的頂點。

因此，我開始嘗試考慮可以解決此問題的算法。 我認為最好的方法是使用廣度優先搜索（BFS）。 這樣，您便可以刪除最高層中的頂點。 由於BFS是由圖層完成的，因此從最高層刪除頂點不應使其他頂點與圖形斷開。

我在正確的軌道上嗎？ 我將如何證明這一點？

Answer 1

令G為一個連通的無向圖。

由於G連接，考慮生成樹M的G 。 該生成樹M具有至少一個頂點，該頂點具有度1（葉頂點）。 因此，通過從G刪除這樣一個特定的頂點，我們仍然有一個連通的圖，也就是說，每對頂點之間都存在一條路徑。

Answer 2

關於算法，您可以運行DFS或BFS並找到沒有子代的第一個頂點。 如果該節點不存在，則必須有一個循環，然后可以返回任何節點。

關於證明。 也許是歸納法？ 您可以證明，如果將具有單邊的頂點（葉頂點）添加到任何已連接的無向圖，則可以始終刪除它，而不會影響連通性。