圖論：它會停止嗎？

Question

我不知道如何開始這個問題：

一個圖形有n個頂點和m個邊，兩個邊之間的連接不能超過一個邊，Rahul開始玩游戲：他按照以下方式更改邊-

• 他選擇一個頂點，然后從該頂點向不存在該邊緣的所有其他頂點添加一條邊。
• 同時從該頂點刪除所有先前存在的邊。

僅當它們在每兩個頂點之間存在直接邊緣時，該游戲才會停止。 您需要確定是否有可能完成此游戲，或者無論他采取什么行動，這種情況是否永遠不會發生。

輸入：將給出圖形的初始狀態。 輸出：“是”或“否”

有人可以提示如何開始嗎？

Answer 1

1）動作順序無關緊要（因為您可以將任意兩個后續動作交換為相同的結果）；
2）具有相同頂點的兩個后續更改的效果為零；
3）您可以進入最終狀態iff。 您可以不超過一次地更改任何頂點；
4）任何兩個連接的頂點都必須同時更改或不變，其中兩個未完全連接的頂點都應更改。

在圖中選取一個連接的組件。 那里的頂點應該全部更改或全部保持不變。 如果組件未完全連接，則無法完成游戲。 如果至少有三個連接的組件，則不可能完成游戲。 如果完全有兩個完全連接的組件，則應更改其中一個恰好所有的頂點。

答：僅當圖形已經完全連接或由兩個完全連接的組件組成時，游戲才能結束。 （很容易看出，當圖形由兩個完全連接的組件組成時，更改頂點會有效地將其從一個組件移動到另一個組件。）

檢查答案的算法：假設我們給定了多個頂點n，然后給出了形式為(a,b)的邊列表，其中a和b是來自[1，n]的頂點數。 令vertices為記錄數組(num_edges, connected, sample) ，並以(0,k,k)初始化（ k為頂點數）。 然后對於每個邊（A，B）：

1. 將A和B的num_edges增加1 ;
2. 如果A.sample等於B.sample ，則轉到下B.sample邊；
3. 交換A.connected和B.connected ，從開始A.connected頂點組sample ，以A.sample並按照connected直到到達B; 到達下一個優勢。

最后，檢查從1開始並隨后connected所有頂點的num_edges等於（其數字-1），並且所有其余頂點的循環相似。 時間應為O（max（n log（n），m）），內存為O（n）。

Answer 2

具有n個頂點的已求解圖將是具有½n（n-1）個邊的完整圖k _n 。

翻轉頂點的狀態將意味着頂點與圖形斷開連接，並且存在兩個斷開連接的完整子圖K ₁和K _（n-1） ，其中分別包含0和½（n-1）（n-2）邊緣。

翻轉其他頂點的狀態會將每個頂點與包含它的完整子圖斷開連接，並將其連接到另一個完整子圖的所有頂點。 因此，通常，如果存在x個具有翻轉狀態的頂點，則將存在兩個完整的子圖K _x和K _（nx） ，其邊緣為½x（x-1）和½（nx）（n-1-x）總共有m =½n（n-1）-nx + x（x-1）個邊。

如果我們知道m和n，那么我們可以求解二次方程，以找到解決問題所需的移動次數x ：

x = ( n - SQRT( 4m + 2n - n² ) ) / 2

如果x為非整數，則難題無法解決。

如果x是整數，則難題可能恰好可以在x步中解決，但是還需要進行額外的檢查，以查看是否存在兩個斷開的完整子圖K _x和K _（nx） 。

算法 ：

• 計算x ; 如果它不是整數，則該圖不可解。 [復雜度： O(1) ]
• 選擇一個隨機頂點：
  • 其度數應為(x-1)或(nx-1) ； 如果不是，則該圖不可解。
  • 生成所有相鄰頂點的列表。 [復雜度： O(n) ]
  • 從該頂點執行深度優先（或廣度優先）搜索。 [復雜度： O(n+m) ]
  • 如果訪問的邊的數量是½x（x-1）或½（nx）（n-1-x） （對應於原始頂點的度），並且沒有訪問與原始頂點不相鄰的頂點，則子-graph是完整的，並且您知道該圖是可解的； 如果任一條件都不成立，則該圖不可解。
• 可以肯定的是，您可以對其他子圖執行相同的操作，但這是不必要的。

例子 ：

邊為(1,2)和(3,4)為n=4,m=2的圖是可解的，因為x =（4-SQRT（0））/ 2 = 2 （是整數），並且有兩個K ₂斷開的子圖。

邊(1,2) ， (2,3) ， (3,4) n=4,m=3的圖具有x =（4-SQRT（4））/ 2 = 1 （是整數）當只有兩個斷開的K ₁和K ₃子圖時，它只是一個不連通的不完整圖。