了解此 python 函數的運行時

Question

def loopy_loop(n):
  for i in range(n):
    for j in range(i):
      if j*j > i:
        break

其中 n 是一個正整數。

假設我取 n=10

外循環肯定會運行 n 次（n=10 次） 內循環將根據這些值運行。

• n = 0，內循環運行0次

• n=1，內循環運行一次

• n=2，內循環運行3次

• n=3，內循環運行4次（直到j=3，並且9>3）

• n=4，內循環也運行4次

• 依此類推，直到 n=9，它將運行 5 次

我很難將所有內容放在一起以使用大 O 表示法來表達運行時。 是否有一套算法可以幫助我處理這個特定的代碼片段？

Answer 1

外循環運行n次。

內部循環運行sqrt(i)次（因為當給定i時，它會在j**2達到i時停止）但i增長（大致）像n （ n//2平均值）

復雜性是O(n**1.5) n次平方根n ）

更准確的估計：

def loopy_loop(n):
    counter=0
    for i in range(n):
        for j in range(i):
            counter+=1
            if j*j > i:
                break
    return counter,int((n)*(n//2)**0.5)

print(loopy_loop(5))
print(loopy_loop(10))
print(loopy_loop(100))
print(loopy_loop(1000))
print(loopy_loop(15000))

結果（計數與估計）：

(10, 7)
(31, 22)
(810, 707)
(22579, 22360)
(1247250, 1299038)