在r中模擬復合泊松過程

Question

我正試圖模擬r中的復合泊松過程。 該過程由$ \\ sum_ {j = 1} ^ {N_t} Y_j $定義，其中$ Y_n $是iid序列獨立的$ N（0,1）$值，$ N_t $是帶參數$ 1 $的泊松過程。 我試圖在沒有運氣的情況下模擬這個。 我有一個算法來計算如下：將cPp從0模擬到T：

發起：$ k = 0 $

重復$ \\ sum_ {i = 1} ^ k T_i <T $

設置$ k = k + 1 $

模擬$ T_k \\ sim exp（\\ lambda）$（在我看來是$ \\ lambda = 1 $）

模擬$ Y_k \\ sim N（0,1）$（這只是一個特例，我希望能夠將此更改為任何分發）

軌跡由$ X_t = \\ sum_ {j = 1} ^ {N_t} Y_j $給出，其中$ N（t）= sup（k：\\ sum_ {i = 1} ^ k T_i \\ leq t）$

有人可以幫我在r中模擬這個，以便我可以繪制過程嗎？ 我試過了，但無法完成它。

Answer 1

使用cumsum作為確定時間N_t和X_t的累積和。 該說明性代碼指定模擬的次數， n ，模擬nt的時間和x的值，以及（顯示它已完成的內容）繪制軌跡。

n <- 1e2
n.t <- cumsum(rexp(n))
x <- c(0,cumsum(rnorm(n)))
plot(stepfun(n.t, x), xlab="t", ylab="X")

該算法由於依賴於低級優化功能，因此速度很快：我測試它的六年之久的系統每秒將產生超過三百萬（時間，值）對。

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這通常足以用於模擬，但它不能完全滿足問題，它要求生成模擬到時間T.我們可以利用前面的代碼，但解決方案有點棘手。 它計算了在時間T之前在泊松過程中將發生多少次的合理上限。它產生到達間隔時間。 這包含在一個循環中，該循環將在（罕見）事件中重復實際未達到時間T的過程。

額外的復雜性不會改變漸近計算時間。

T <- 1e2            # Specify the end time
T.max <- 0          # Last time encountered
n.t <- numeric(0)   # Inter-arrival times
while (T.max < T) {
  #
  # Estimate how many random values to generate before exceeding T.
  #
  T.remaining <- T - T.max
  n <- ceiling(T.remaining + 3*sqrt(T.remaining))
  #
  # Continue the Poisson process.
  #
  n.new <- rexp(n)
  n.t <- c(n.t, n.new)
  T.max <- T.max + sum(n.new)
}
#
# Sum the inter-arrival times and cut them off after time T.
#
n.t <- cumsum(n.t)
n.t <- n.t[n.t <= T]
#
# Generate the iid random values and accumulate their sums.
#
x <- c(0,cumsum(rnorm(length(n.t))))
#
# Display the result.
#
plot(stepfun(n.t, x), xlab="t", ylab="X", sub=paste("n =", length(n.t)))