如何使用替換方法解決以下重現？

Question

我需要使用Substitution方法證明對以下重現的嚴格限制：

T(n) = 2T(n/2) + n/log(n)

我已經到達Substitution方法的“guess”部分並且通過使用遞歸樹和迭代方法知道T(n)是O(n*log(log(n))) 。 但我無法弄清楚如何從大O和歐米茄的歸納步驟出發：

Assume  T(n/2) <= c*(n/2)log(log(n/2))
T(n) = 2T(n/2) + n/log(n) <= 2c*(n/2)log(log(n/2)) + n/log(n)

Assume  T(n/2) => c*(n/2)log(log(n/2))
T(n) = 2T(n/2) + n/log(n) => 2c*(n/2)log(log(n/2)) + n/log(n)

Answer 1

假設

T(n/2) <= (n/2) log log (n/2) = (n/2) log (log n - 1).

然后

T(n) = 2T(n/2) + n/log n
     <= n log (log n - 1) + n/log n
     = n log log n - n (log log n - log (log n - 1) + 1/log n),

所以足以證明log log n - log (log n - 1) >= 1/log n ，這是一般不等式log k - log (k - 1) >= 1/k一個實例，通過積分證明1/x從x = k - 1到x = k並應用均值定理。 （視覺上，寬度為1 ，高度為1/k的矩形適合在x = k - 1到x = k的1/x曲線下。）

下限相似; 對於k >= 2使用不等式log k - log (k - 1) <= 1/(k - 1) <= 2/k 。