如何使用替換法求解 T(n) = 2(T/8) + n

Question

T(n) = 2(T/8) + n

我必須通過使用替換方法和數學歸納法來解決這種重復。

使用 master 方法，案例 3 的答案是 T(n) = θ(n)。

所以使用替換方法，應該得出相同的答案。 我對嗎？

導出 T(n) = O(n) 很簡單

但是當我試圖通過假設 T(k) >= ck（其中 k < n）來證明 T(n) = Ω(n)

那么 T(n) = 2T(n/8) + n >= 1/4*cn + n = cn - (3/4cn - n) >= cn <-- 錯誤

也無法通過減去或添加低階項來解決

我如何僅使用替換方法來證明 T(n) = θ(n)？

Answer 1

您可以簡單地證明 T(n) >= n。 T(n) = 2T(n/8) + n >= n。 如果想復雜一點可以用2T(n/8)代替，那么T(n) = 2T(n/8) + n >= n/4 + n >= n。

我沒有仔細查看您的證明，但您似乎假設您可以證明所有 c，而不是某些特定的 c（在我的證明中，c=1）。 也許那個過於雄心勃勃的假設給你帶來了麻煩。