如何使用遞歸樹求解 T(n) = 2*T(n/2) + n*log(n)？

Question

我有一個遞歸關系，如下所示：

T(n) = 2 T(n/2) + n log(n)

我正在使用遞歸樹方法來解決這個問題。 最后，我想出了以下等式：

n ( log(n/2^0) + log(n/2^1) + log(n/2^2) + .......+ log(n/2^(log n))) *

在求解這個方程時，我得到了n(log n)^2 的時間復雜度，但是通過使用大師定理，我得到了n(log(log n)) 的時間復雜度，請幫助我找到我的錯誤。

Answer 1

讓我們來看看你在這里的等式：

n(log(n/2 ⁰ ) + log(n/2 ¹ ) + log(n/2 ² ) + ... + log(n/2 ^{log n} ))

現在，讓我們使用對數的屬性將 log(n / 2 ^k ) 重寫為 log n - log 2 ^k 。 這給了我們

n((log n - log 2 ⁰ ) + (log n - log 2 ¹ ) + (log n - log 2 ² ) + ... + log n - (log 2 ^{log n} ))

對數的另一個屬性告訴我們 log 2 ^k = k log 2。這里沒有指定對數基數，因此為簡單起見，我將假設它們是基數 2 的對數。 這意味着 log 2 ^k = k。 這意味着我們有這個表達式：

n((log n - 0) + (log n - 1) + (log n - 2) + ... + (log n - log n))

= n(log n + (log n - 1) + (log n - 2) + ... + 2 + 1 + 0)。

您可能會將此內部總和識別為高斯總和：0 + 1 + 2 + 3 + ... + k = k(k+1) / 2。這意味着該總和簡化為

n (log n)(1 + log n) / 2

= Θ(n log ² n) 。

這與主定理所說的相符。 這真是個好消息！

Answer 2

你錯了。 你也將 git n log^2(n) = n * log(n) * log(n) （seocnd 情況）。 在此處查看更多詳細信息（案例 2a）。

我們知道a = b = 2這意味着c_crit = 1 。 因此f(n) = n log(n) = Theta(n log(n)) ，這意味着k = 1 > -1 。

Answer 3

主定理不適用於此循環，因為合並的成本，即循環中的 n * Log(n)，必須是 n 的冪。

但是，如果將 n * Log(n) 設為 n ^{2 的}上限，則可以應用主定理。 在這種情況下，它將產生 n ² Log(n) 的復雜度。

此外，由於我們對合並成本采取了更寬松的限制，因此這種復雜性也更寬松。 您的 n * Log ² (n) 的復雜性可能更正確/更嚴格。