計算沒有連續元素的子集總數

Question

我正在嘗試用組合學和計數子集解決相當復雜的問題。 首先，假設我們給出了集合A = {1,2,3，... N}，其中N <= 10 ^（18）。 現在我們想要計算其表示中沒有連續數字的子集。

例

假設N = 3，A = {1,2,3}。 總共有2 ^ 3個子集，但我們不想計算子集（1,2），（2,3）和（1,2,3）。 所以總的來說這個問題我們想要回答5，因為我們只想計算剩余的5個子集。 那些子集是（空子集），（1），（2），（3），（1,3）。 我們還想打印結果模10 ^ 9 + 7。

到目前為止我做了什么

我認為這應該通過使用兩個狀態的動態編程來解決（我們是否采用第i個元素），但后來我看到N可以達到10 ^ 18，所以我認為這應該解決使用數學公式。 你能給我一些提示，我應該從哪里開始得到這個公式。

提前致謝。

Answer 1

看看有多少子集不包含連續元素？ 在數學堆棧交換。

他們得出結論，集合{1,2,3 ... n}中的非連續子集的數量是fib（n + 2），其中fib是計算數字n + 2的斐波納契數列的函數。 。 您對n = 3的解決方案符合此解決方案。 如果你可以實現Fibonacci算法，那么你可以解決這個問題，但解決一個大到10 ^ 18的數字的問題仍然是一個挑戰。

正如這里的評論所述，您可以查看Hacker Earth上的快速加倍算法 。
它將在O（log n）中找到斐波納契數。