給定重復元素集中不同元素的子集總數的算法

Question

我必須找出'k'（k> 1）的子集總數，其長度包含不同的元素。 如果碰巧有一個相同的元素但具有不同的索引，則認為兩個子集是不同的。 請參見下面的示例。

給定集合A = {1，1，2，3}。

對於k = 2，可能的子集為{1（index = 1），2}，{1（index = 2），2}，{1（index = 1），3}，{1（index = 2）， 3}和{2，3}。 總= 5。

對於k = 3，可能的子集為{1（index = 1），2、3}，{1（index = 2），2、3}。 總= 2。

對於k ＝ 4，可能的子集＝ 0。

我必須為10 ^ 5長度的數組計算此值。 是否有任何組合邏輯？

Answer 1

這是一種O(m * k)方法，其中m是A中不同元素的數量。

A每個不同元素映射到其出現次數（您可以將哈希映射用於O(n)運行時）。 讓這些數字成為

c[1], c[2], ..., c[m]

現在您可以看到k不同的集合的總數是所有可能乘積的總和

c[i1] * c[i2] * ... * c[ik]

（在您的示例中， c[1] = 2, c[2] = 1, c[3] = 1 ，您可以看到具有2個不同元素的集合的數量為2*1+1*1+2*1 = 5 ）。

您還可以看到此數字是多項式中x^k前面的系數：

(1+c[1]*x)*(1+c[2]*x)*...*(1+c[m]*x)

這可以通過乘以每個多項式1 + c[i]* x更新度為k的多項式（在開始時初始化為常數1 ）來迭代計算。

運行時間為O(m * k) 。