elim在/ \\和\\ /上的Coq中如何工作？

Question

在Coq教程 1.3.1和1.3.2節中，有兩個elim應用程序：第一個：

1 subgoal

  A : Prop
  B : Prop
  C : Prop
  H : A /\ B
  ============================
   B /\ A

應用elim H ，

Coq < elim H.
1 subgoal

  A : Prop
  B : Prop
  C : Prop
  H : A /\ B
  ============================
   A -> B -> B /\ A

第二個：

1 subgoal

  H : A \/ B
  ============================
   B \/ A

應用elim H ，

Coq < elim H.
2 subgoals

  H : A \/ B
  ============================
   A -> B \/ A

subgoal 2 is:
 B -> B \/ A

有三個問題。 首先，在第二個示例中，我不了解將什么推理規則（或邏輯身份）應用於目標以生成兩個子目標。 對於第一個示例，我很清楚。

根據Coq的手冊，第二個問題是elim與歸納類型有關。 因此，似乎elim根本不能在這里應用，因為我覺得兩個示例中都沒有歸納類型（請原諒我不知道歸納類型的定義）。 為什么在這里可以應用elim ？

第三， elim通常做什么？ 這里的兩個示例未顯示elim的通用模式。 官方手冊似乎是為非常高級的用戶設計的，因為他們在一個由更多術語定義的其他幾個術語上定義了一個術語，並且其語言模棱兩可。

非常感謝您的回答！

Answer 1

簡，首先讓我注意一下，該手冊是開源的，可從https://github.com/coq/coq獲得 ； 如果您認為措詞/定義順序可以改善，請在此處打開一個問題或隨時提交拉取請求。

關於您的問題，我認為您會從Coq的一些更全面的介紹中受益，例如“ Coq'art”，“軟件基礎”或“程序和證明”。

特別地， elim策略試圖將所謂的“消除原理”應用於特定類型。 之所以稱其為消除，是因為從某種意義上講，該規則允許您“擺脫”該特定對象，從而使您可以繼續進行證明。[我建議閱讀Dummett，以更全面地討論邏輯連接詞的起源]

特別是，∨連詞的消除規則通常由邏輯學家編寫如下：

          A   B
          ⋮  ⋮
 A ∨ B    C   C
────────────────
       C

也就是說，如果我們可以獨立地從A和B推導C ，那么我們可以從A ∨ B推導它。 這看起來很明顯，不是嗎？

回到Coq，事實證明，由於有“ Curry-Howard-Kolmogorov”等價關系，因此該規則具有計算解釋性。 實際上，Coq並沒有提供大多數內置的標准邏輯連接詞，但它允許我們通過“歸納”數據類型來定義它們，類似於Haskell或OCaml。

∨的定義尤其是：

Inductive or (A B : Prop) : Prop :=
  | or_introl : A -> A \/ B
  | or_intror : B -> A \/ B

也就是說， or AB是包含A或B以及“標簽”的數據，它使我們可以“匹配”以知道我們真正擁有的是哪個。

現在，“或的消除原理”具有以下類型：

or_ind : forall A B P : Prop, (A -> P) -> (B -> P) -> A \/ B -> P

Coq的偉大之處在於，這種原理不是“內置”的，而是常規程序！ 想一想，您可以編寫or_ind函數的代碼嗎？ 我會給你一個提示：

Definition or_ind A B P (hA : A -> P) (hB : B -> P) (orW : A ‌\/ B) :=
  match orW with
  | or_introl aW => ?
  | or_intror bW => ?
  end.

一旦定義了此函數， elim所做的就是應用它，正確實例化變量P

練習：解決使用您的第二個示例apply和ord_ind代替elim 。 祝好運！