哈密​​頓路徑算法的時間復雜度

Question

我正在編寫一個程序在圖中搜索漢密爾頓路徑。 它通過搜索圖的各個頂點之間的所有可能排列，然后檢查每個排列中所有連續頂點之間是否存在邊來工作。

我計算出時間復雜度為O(n)=n!*n^2 。

為了計算時間復雜度，我認為：為了計算每個排列，我遍歷了頂點列表。 更何況還有n！ 排列，然后對於每個排列，我再次遍歷頂點列表以檢查兩個連續頂點之間是否存在邊。 因此，這使O(n)=n!*n*n 。

我在計算中犯了錯誤嗎？

我想我做錯了，因為我測量了程序在不同大小的圖形上執行的時間，並且復雜度看起來更像O(n)=n!

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以下是程序執行所需時間的一些值，其中圖中的頂點數為n。

On a Machine with 3.5GHz i7 Processor and 16 GB RAM:
n=2 : 0.000025 s
n=3 : 0.000041 s
n=4 : 0.00013 s
n=5 : 0.00065 s
n=6 : 0.0045 s
n=7 : 0.039 s
n=8 : 0.31 s
n=9 : 3.2 s
n=10 : 36 s
n=11 : 455 s

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這是我的代碼：

主要

graph=Graph([[1,4],[0,2,3],[1,3],[1,2,4],[0,3]]) #n = 5 (number of nodes)
ham = hamiltonianPaths0(graph)

hamiltonianPaths0函數

def hamiltonianPaths0(graph, circuit=False):
    name = "circuit" if circuit else "path"
    f=0
    paths=[]
    for i in permutations(graph.vertices):
        k=1
        for j in range(len(i)-1+int(circuit)):
            if [i[j],i[(j+1)%len(i)]] in graph.edges:
                #print("Edge from {} to {}".format(i[j], i[(j+1)%len(i)]))
                k+=1
            if k==len(i)+int(circuit):
                print("{} is a hamiltonian {} !".format(i,name))
                f+=1
                paths.append(i)

    print("{} hamiltonian {}(s) found !".format(f,name))
    return paths

排列功能

def permutations(iterable, r=None):
    pool = tuple(iterable)
    n = len(pool)
    r = n if r is None else r
    if r > n:
        return
    indices = list(range(n))
    cycles = list(range(n, n-r, -1))
    yield tuple(pool[i] for i in indices[:r])
    while n:
        for i in reversed(range(r)):
            cycles[i] -= 1
            if cycles[i] == 0:
                indices[i:] = indices[i+1:] + indices[i:i+1]
                cycles[i] = n - i
            else:
                j = cycles[i]
                indices[i], indices[-j] = indices[-j], indices[i]
                yield tuple(pool[i] for i in indices[:r])
                break
        else:
            return

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PS：圖類從列表中生成一個圖，為每個頂點指定與其鏈接的其他頂點。 例如： Graph([[1],[0,2],[1]])將產生一個圖形，該圖形具有3個頂點（0,1,2），其中0鏈接到1，1鏈接到0，2鏈接到2，2鏈接至1）。 Graph.vertices是包含圖的所有頂點的列表。

Answer 1

O（n！）和O（n！* n ^ 2）具有相同的復雜度。 讓我們在其右側以較低的數量“超調”並減少表達式。

n! * n * n <= n! * (n+1) * (n+2)
n! * n * n <= (n+2)!

但是，O（n！）== O（（n + 2）！）

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