如何衡量該算法的時間復雜度（Big-O）？

Question

我試圖測量以下算法的大O復雜度：

int sumSome(int[] arr){
   int sum = 0;
   for (int i=0; i<arr.length;  i++) {
      for (int j=1; j<arr.length; j = j*2) {
         if (arr[i] > arr[j])
            sum += arr[i];
      }
   }
   return sum;
}

現在從我的理解，

if (arr[i] > arr[j])
                sum += arr[i];

O（1）有很大的O，因為它是常數並且沒有任何事情發生，但是聽起來它的for循環雖然我很難分辨它的Big-O表示法。 我認為

for (int j=1; j<arr.length; j = j*2) {
         if (arr[i] > arr[j])
            sum += arr[i];
}

是一個線性函數O（n），因為j可能是1但它在O（2n）處以線性方式上升，這只是O（n）。 那么整個算法不是O（n ^ 2）嗎？ 顯然我沒有在MOOC考試中正確回答這個問題。 謝謝！

Answer 1

是一個線性函數O（n），因為j可能是1但它在O（2n）處以線性方式上升，這只是O（n）。 因此，整個算法不會是O（n ^ 2）。 顯然我沒有在MOOC考試中正確回答這個問題。 謝謝！

它不是線性上升，而是呈指數上升，因為你在每次迭代時將j乘以2 。

j = 1, 2, 4, 8, 16, 32, ..., 2^k < n
2^k < n | apply log base 2 => k < log_2 n => k = O(log n)

所以第二個循環只執行O(log n)次，使整個代碼序列為O(n log n) 。

嚴格來說， O(n^2)也是一個正確的答案，因為如果O(n log n)是一個上界，那么O(n^2) 。 然而， n^2大Theta不正確，人們通常也會使用Big-Oh來指代嚴格的界限。

Answer 2

Big-O的關鍵是尋找循環，所以你的關鍵部分在這里：

for (int i=0; i<arr.length;  i++) {
   for (int j=1; j<arr.length; j = j*2) {
      if (arr[i] > arr[j])
         sum += arr[i];
   }
}

外循環執行N次，因為它以0為增量從0到N.

內部循環每次外部迭代執行Log N次，因為它以指數方式從1到N執行。 （我懷疑，你錯過的那個是循環中的迭代器： j = j*2這使得J呈指數增長，而不是線性增長，因此它將在log-base-2時間內達到N.如果它是+2 ，而不是*2 ）

if-inside對Big-O無關緊要，因為它只增加了一個系數。

因此，只需乘以循環的順序： N * Log N = N Log N