如何衡量该算法的时间复杂度（Big-O）？

Question

我试图测量以下算法的大O复杂度：

int sumSome(int[] arr){
   int sum = 0;
   for (int i=0; i<arr.length;  i++) {
      for (int j=1; j<arr.length; j = j*2) {
         if (arr[i] > arr[j])
            sum += arr[i];
      }
   }
   return sum;
}

现在从我的理解，

if (arr[i] > arr[j])
                sum += arr[i];

O（1）有很大的O，因为它是常数并且没有任何事情发生，但是听起来它的for循环虽然我很难分辨它的Big-O表示法。 我认为

for (int j=1; j<arr.length; j = j*2) {
         if (arr[i] > arr[j])
            sum += arr[i];
}

是一个线性函数O（n），因为j可能是1但它在O（2n）处以线性方式上升，这只是O（n）。 那么整个算法不是O（n ^ 2）吗？ 显然我没有在MOOC考试中正确回答这个问题。 谢谢！

Answer 1

是一个线性函数O（n），因为j可能是1但它在O（2n）处以线性方式上升，这只是O（n）。 因此，整个算法不会是O（n ^ 2）。 显然我没有在MOOC考试中正确回答这个问题。 谢谢！

它不是线性上升，而是呈指数上升，因为你在每次迭代时将j乘以2 。

j = 1, 2, 4, 8, 16, 32, ..., 2^k < n
2^k < n | apply log base 2 => k < log_2 n => k = O(log n)

所以第二个循环只执行O(log n)次，使整个代码序列为O(n log n) 。

严格来说， O(n^2)也是一个正确的答案，因为如果O(n log n)是一个上界，那么O(n^2) 。 然而， n^2大Theta不正确，人们通常也会使用Big-Oh来指代严格的界限。

Answer 2

Big-O的关键是寻找循环，所以你的关键部分在这里：

for (int i=0; i<arr.length;  i++) {
   for (int j=1; j<arr.length; j = j*2) {
      if (arr[i] > arr[j])
         sum += arr[i];
   }
}

外循环执行N次，因为它以0为增量从0到N.

内部循环每次外部迭代执行Log N次，因为它以指数方式从1到N执行。 （我怀疑，你错过的那个是循环中的迭代器： j = j*2这使得J呈指数增长，而不是线性增长，因此它将在log-base-2时间内达到N.如果它是+2 ，而不是*2 ）

if-inside对Big-O无关紧要，因为它只增加了一个系数。

因此，只需乘以循环的顺序： N * Log N = N Log N