檢查兩個向量是否平行的最有效方法

Question

給定兩個向量u=(ux,uy,uz)和v=(vx,vy,vz), ），假設向量是平行的或接近平行的（給定一些閾值），計算上最便宜的方法是什么不規范化？

關於幾乎平行：例如，我們假設一個閾值一直到小數點后第一位，例如，如果它們的叉積為0.01我們可以放心地假設它們是平行的。 我們可以類似地放寬我們可能要使用的其他方法的條件。

如果首選使用編程語言來回答問題，那么讓我們假設我們想用c ++做到這一點。

• 計算它們之間的角度是昂貴的，因為它需要使用反三角函數。
• 計算其叉積可能是一種方法，但不確定是否是最有效的方法。
• 將它們歸一化並驗證其標量乘積是否為一。

Answer 1

簡短的答案： 從理論上講，這根本沒有關系。 實際上：測量它

長答案：

同意三角函數反函數是不可能的，讓我們比較計算最后兩個選項的最有效方法。

計算他們的叉積

由於允許向量幾乎平行，因此需要計算

crossx := uy * vz + uz * vy;
crossy := ...;
crossz := ...;
crossNorm = crossx * crossx + crossy * crossy + crossz * crossz;

其中涉及9個乘法和5個加法。 如果向量（幾乎）是平行的，則crossNorm應該（幾乎）為零。

但是，正如Baum mit Augen正確指出的那樣，足以檢查crossx ， crossy和crossz幾乎為零，將其減少為6個乘法和3個加法，但要付出多達兩次以上的比較的代價。 哪種方法更有效，取決於您的語言詳細信息和“接近”等於的定義-例如，如果幾乎等於意味着fabs(...) < 1E-6那么只需要做一次即可。

計算標量積

標量積為

scalar = ux * vx + uy * vy + uz * vz;

如果向量（幾乎）平行，則

scalar * scalar

應該（幾乎）相等

(ux * ux + uy * uy + uz * uz) * (vx * vx + vy * vy + vz * vz).

這歸結為10個乘法和6個加法。

將它們歸一化並驗證其標量乘積是否為一。

這只是以上計算，但有兩個額外的double除法。 這不會增加任何價值，實際上它可能會引入舍入問題。

結論

兩個選項的雙重運算次數幾乎相同。 如果您真的想知道，可以比較程序集https://godbolt.org/z/nJ9CXl，但對於所有實際用途而言，差異將很小。 實際上，如果僅計算“昂貴”指令（ mulsd ， addsd和subsd ），而比較（ ucomisd ）則有五個選項。 但是，再次，如果您必須確切知道，請進行測量！

Answer 2

我認為這是錯誤的

標量= l1 * l2 * cos（r）= ux * vx + uy * vy + uz * vz標量^ 2 =（l1 * l2 * cos（r））^ 2 =（ux * vx + uy * vy + uz * VZ）^ 2

（l1 * l2）^ 2 =（ux * ux + uy * uy + uz * uz）*（vx * vx + vy * vy + vz * vz）所以cos（x）^ 2 =標量^ 2 /（ux * ux + uy * uy + uz * uz）*（vx * vx + vy * vy + vz * vz）=（ux * vx + uy * vy + uz * vz）^ 2 / /（ux * ux + uy * uy + uz * uz）*（vx * vx + vy * vy + vz * vz）

當cos為1或-1時x接近0或180，所以cos（x）^ 2-> 1

當這個

福爾米拉（Formila）接近1

（ux * vx + uy * vy + uz * vz）^ 2 /（ux * ux + uy * uy + uz * uz）*（vx * vx + vy * vy + vz * vz）這意味着向量是平行的