這個for循環的時間復雜度是多少（與`n`有關）？

Question

這個for循環的時間復雜度是多少（與n有關）？

for(int i = 1, j; i <= n; i = j + 1)
{
        j = n / (n / i);
}

請注意， i ， j和n是整數變量，它們遵循整數運算。 特別是，循環內的表達式n/(n/i)應解釋如下：

Answer 1

如果我們使用j = i; 而不是j = n / (n / i); ，時間復雜度為O（n）。 現在它是j = n / (n / i); ，假設n = i * k + r ，其中k和r都是整數， r = n％i 。 因此j =（i * k + r）/（（i * k + r）/ i）=（i * k + r）/ k = i + r / k> = i，這意味着我將比你使用j = i; 。 所以至少時間復雜度小於O（n），我想這給你另一個O（n）。

除了大O表示法之外，還有另外兩種符號（Θ和Ω），這意味着O（n）的下限和上限。 通過找到這兩個邊界，您可以獲得時間復雜性。 如果我沒記錯的話還有另一條規則，O（k * n）= O（n），系數k無論多大都無關緊要。

Answer 2

正如taotsi所闡述的 ，每次迭代中i的增量為

inc = 1 + r/k

其中r=n%i且k=n/i 。 由於r<i ，只要i<sqrt(n) ，增量就是1（因為那時i*i/n<1在整數除法中變為0 ）。 此后，增量為（典型地） 2只要i<2*sqrt(n) 這繼續類似於幾何級數，給出因子2超過sqrt(n) ，即2 sqrt(n)次迭代。

如果我們用整數0 <= b <= 2*a （即a=int(sqrt(n))和b=na*a ）寫n = a*a+b ，那么簡單實驗中的迭代總數是總是

b < a?  2*a-1 : 2*a

因此，復雜度為O（√n）（假設在循環內部完成了一些有用的工作，例如計算總迭代次數，這樣就不允許編譯器忽略整個循環）。

Answer 3

由於@Walter已經提供了一個證明，我對這個部分來說太遲了，但這里是你的代碼的Python3版本和迭代次數的圖，它是n與2*sqrt(n)函數的函數。 它們看起來大致相同（最多n = 1e9 ）。

import matplotlib.pyplot as plt
from numba import jit
import math

@jit
def weird_increment_loop(n):
    i = 1
    j = 0
    iterations = 0
    while i <= n:
        j = n // (n // i)
        i = j + 1
        iterations = iterations + 1

    return iterations

iterations = []
func_2sqrt = []
domain = range(0,1000000001,1000000)
for n in domain:
    iterations.append(weird_increment_loop(n))
    func_2sqrt.append(math.sqrt(n)*2)

plt.plot(domain,iterations)
plt.plot(domain,func_2sqrt)
plt.xlabel("n")
plt.ylabel("iterations(n) and 2*sqrt(n)")
plt.show()

這是情節：

如果你沒有看到差異，那是因為幾乎沒有：D當然，人們應該始終信任數學;）

Answer 4

嚴格按照C ++的規則，它是O(1) 。 循環在經過一些有限量的不可觀察的工作之后終止，或者它永遠循環（這是未定義的行為）。 一致的實現可能假設未遇到未定義的行為，因此我們可以假設它終止。

因為程序的可觀察效果不依賴於循環內部發生的事情，所以允許實現“假設”它為虛無。