非線性微分方程，如何在MATLAB中數值求解？

Question

我一直在一個項目中，我需要找到給定非線性微分方程的解決方案，請參見下圖：

現在，我嘗試使用matlabs內置函數bvp4c，但是語法很困難，我不知道結果是否可靠。 對於某些值，bvp4c函數只會生成一個錯誤。 我還考慮了邊界條件，請參見下圖：

對不起，這些數字太大了。 現在我知道這不是一個數學論壇，但是我需要從數字上解決這個問題，我想用可用的最佳方法解決它。 到目前為止，我的代碼如下所示：

function [theta_0 y2]=flow_BVP

theta_0=linspace(0,1,1000); % pi/18
solinit2=bvpinit(theta_0,[0 1 1]);
sol2=bvp4c(@flow_ode,@flow_bc,solinit2);
x2=sol2.x;
y2=sol2.y(1,:);


hold on
%plot(x1,y1) %gammal
plot(x2,y2) %ny
%hold off


function v=flow_init(x)
v=[sin(x); 1; 1];

function dydx=flow_ode(x,y)
q=0.0005;
v=1;
dydx = [y(2); y(3); 2*q/v*y(1)*y(2)-4*y(2)];

function res=flow_bc(ya,yb)
res=[ya(1);yb(1);ya(2)-5.59];

重復我的問題，哪種是最好的方法，最容易，最簡單的理解和實現方法是解決該問題？ 射擊吧？

最好的問候SimpleP。

編輯到目前為止，我得到的結果是

該圖顯示了f與\\ theta的關系。 積分應為1。

Answer 1

合並積分的一般方法是將f的反導數F添加到ODE系統中。 也就是說，作為第四部分和變量

F' = f  with   F(0)=0,  F(alpha)=1

而其他組件則需要轉移一個索引，

function v=flow_init(x)
v=[sin(x); 1; 1; 1-cos(x)];

function dydx=flow_ode(x,y)
% y is [ f, f', f'', F ]
q=0.0005;
v=1;
dydx = [y(2); y(3); 2*q/v*y(1)*y(2)-4*y(2); y(1)];

function res=flow_bc(ya,yb)
res=[ya(1); ya(4); yb(1); yb(4)-1];

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使用python：

q, v = 0.0005, 1
def flow_ode(t,u): return [ u[1], u[2], 2*q/v*u[0]*u[1]-4*u[1], u[0] ]

def flow_bc(u0, u1): return [ u0[0], u0[3], u1[0], u1[3]-1 ]

x = x_init = np.linspace(0,1,11);
u_init = [ 6*x*(1-x), 0*x, 0*x, x ]

res = solve_bvp(flow_ode, flow_bc, x_init, u_init, tol = 1e-5)

print res.message
if res.success:
     x = x_sol = np.linspace(0,1,201);
     u_sol = res.sol(x_sol);
     plt.subplot(2,1,1)
     plt.plot(x_sol, u_sol[0]); plt.plot(x, 6*x*(1-x), lw=0.5); plt.grid()
     plt.subplot(2,1,2)
     plt.plot(x_sol, u_sol[3]); plt.grid()
     plt.show()

可以看到，這里的初步猜測非常接近。 由於ODE是4f'+f'''=0的小擾動，因此解必須接近其解a+b*sin(2x)+c*cos(2x) ，其邊界條件為

f(x)=A * [ (1-cos(2))*sin(2*x)-sin(2)*(1-cos(2*x)) ]
    = 4*A*sin(1) * sin(x)*sin(1-x)

與A使得積分為1。

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如果將ODE中的參數值切換為q=1且v=0.0005 ，則解決方案將具有大小為sqrt(v/q)邊界層。