IEEE 754和機器編號

Question

我一直在嘗試將機器編號（例如單位舍入（u）和epsilon（e））與IEEE 754標准結合使用。 我的教科書指出了一些對我來說真的沒有意義的事情。

根據我的教科書，單位四舍五入是：

• 對於單精度（尾數為23位）：u = 6e-8
• 對於雙精度（尾數為52位）：u = 2e-16

我一直在嘗試為具有兩個關系的這些結果得出公式：

• 我的教科書指出：“在四舍五入的二進制算術中，我們通常有e = 2 * u”
  • e = 2 ^ -n，n是尾數位的數量

這些組合的結果將得出：u = 2 ^-（n + 1），同樣，n是尾數位的數量。 使用u的給定結果檢查此公式的不同精度：

對於單身：u = 2 ^-（23 + 1）= 5.96e-8，此結果將檢出。 對於double：u = 2 ^-（52 + 1）= 1.11e-16，此結果未檢出。

有人可以幫助我為單位舍入得出正確的公式，還是向我指出我一直在犯的一些錯誤？ 感謝所有幫助。

Answer 1

這似乎是教科書中的錯誤。

IEEE-754基本32位和64位二進制浮點格式的有效位數分別為24位和53位。 ¹有時會指出有效位數是23位和52位，但這是一個錯誤。 這些是用於編碼有效位數的主要字段的大小，但是完整的24位有效位數在主要有效字段中編碼為23位，在指數字段中編碼為1位。 同樣，完整的53位有效數字在主有效字段中編碼為52位，在指數字段中編碼為1位。 （全有效位的前導位來自指數字段：如果指數字段為零，則前導有效位為0。如果指數字段既不是零也不是全1，則前導有效位是1。如果指數字段全部為1，則浮點對象是一個特殊值，可以是無窮大或NaN。）

當24位有效數字的前導位表示值1時，最低有效位表示值2 ^-23 。 那就是所謂的ε。 當將實數舍入為最接近的可表示浮點值時，最大誤差為最低有效位的值的一半。 （因為如果距離大於兩個數字之間的距離的一半，我們會選擇另一個方向的數字，因為它更接近。）

對於53位有效數字，最低有效位表示相對於前導位的值2 ^-52 ，而四舍五入到最接近值時的最大誤差是該值的一半。 因此，對於前導位1，最大舍入誤差應為2 ^-53 ，約為1.11•10 ^-16 。 如果您的書說是2 ^-16 ，那是不正確的。

腳注

¹ “有效”是首選術語。 “ Mantissa”是對數的分數部分的舊術語。 有效位數是線性的。 尾數是對數的。