IEEE 754和机器编号

Question

我一直在尝试将机器编号（例如单位舍入（u）和epsilon（e））与IEEE 754标准结合使用。 我的教科书指出了一些对我来说真的没有意义的事情。

根据我的教科书，单位四舍五入是：

• 对于单精度（尾数为23位）：u = 6e-8
• 对于双精度（尾数为52位）：u = 2e-16

我一直在尝试为具有两个关系的这些结果得出公式：

• 我的教科书指出：“在四舍五入的二进制算术中，我们通常有e = 2 * u”
  • e = 2 ^ -n，n是尾数位的数量

这些组合的结果将得出：u = 2 ^-（n + 1），同样，n是尾数位的数量。 使用u的给定结果检查此公式的不同精度：

对于单身：u = 2 ^-（23 + 1）= 5.96e-8，此结果将检出。 对于double：u = 2 ^-（52 + 1）= 1.11e-16，此结果未检出。

有人可以帮助我为单位舍入得出正确的公式，还是向我指出我一直在犯的一些错误？ 感谢所有帮助。

Answer 1

这似乎是教科书中的错误。

IEEE-754基本32位和64位二进制浮点格式的有效位数分别为24位和53位。 ¹有时会指出有效位数是23位和52位，但这是一个错误。 这些是用于编码有效位数的主要字段的大小，但是完整的24位有效位数在主要有效字段中编码为23位，在指数字段中编码为1位。 同样，完整的53位有效数字在主有效字段中编码为52位，在指数字段中编码为1位。 （全有效位的前导位来自指数字段：如果指数字段为零，则前导有效位为0。如果指数字段既不是零也不是全1，则前导有效位是1。如果指数字段全部为1，则浮点对象是一个特殊值，可以是无穷大或NaN。）

当24位有效数字的前导位表示值1时，最低有效位表示值2 ^-23 。 那就是所谓的ε。 当将实数舍入为最接近的可表示浮点值时，最大误差为最低有效位的值的一半。 （因为如果距离大于两个数字之间的距离的一半，我们会选择另一个方向的数字，因为它更接近。）

对于53位有效数字，最低有效位表示相对于前导位的值2 ^-52 ，而四舍五入到最接近值时的最大误差是该值的一半。 因此，对于前导位1，最大舍入误差应为2 ^-53 ，约为1.11•10 ^-16 。 如果您的书说是2 ^-16 ，那是不正确的。

脚注

¹ “有效”是首选术语。 “ Mantissa”是对数的分数部分的旧术语。 有效位数是线性的。 尾数是对数的。