在集合列表中查找不相交集合的對數

Question

問題陳述如下：給定n個集合的列表，每個集合包含k個整數，找到不相交集合的對數。 假設集合中可能的元素為正，且在上方被c> n限制，並假設k << n。

我試圖提出一種比O（kn ^ 2）更快的有效算法來解決此問題，這是天真的解決方案的運行時間。

我能想到的最佳策略包括遍歷列表中的每個集合，並對集合的元素進行哈希處理，以使集合中的每個元素都映射到包含它的集合的一組索引。 然后，對於迭代中的當前集合，將其c個元素用作鍵，並考慮由哈希表作為值給出的c個索引集的並集。 這個結果索引集表示到目前為止遇到的與當前集不脫節的集數，我們可以使用它來查找不相交集的數。 在整個迭代過程中求和該值可得出正確答案。 但是，由於聯合運算為O（n），因此此策略沒有比單純的解決方案更好的方法。

解決此問題的最有效解決方案是什么？

Answer 1

由於k << n，您可以通過以下方法降低復雜度：

• 對每個集合進行排序，可以是n * k * log（k）
• 然后按第一個倒數第二個元素n * log（n）對所有集合進行排序

現在比較需要n *（n-1）個操作，它們是：

• 將s1.Last與s2.First進行比較（應該是大多數情況，如k << n）
• 或者考慮到s1和s2已排序，可以有效地搜索k最大的s1 s2交點