恢復時間最短的路徑

Question

問題可以通過以下方式描述：

節點網絡已崩潰，每個連接（邊緣）都有一定的恢復時間，直到它重新聯機並再次連接兩個節點。 我們的目標是找到最早運行的節點1到n之間的路徑，並在該路徑上返回最長的恢復時間。

網絡可以表示為具有無向邊的圖。

我們有三個數組：

1. 第一個包含原點頂點
2. 第二個包含目標頂點
3. 第三個包含每個連接的恢復時間（邊緣）

例：

{1,2,2,3}，{2,3,4,4}，{1,5,10,2}

其中節點1和2之間的連接恢復時間為1，等等。

從1到n = 4的最佳路徑是1-2-3-4，因為與路徑1-2-4相比，該路徑上的最長恢復時間是5，其中最長恢復時間是10。

這里重要的是要注意，每條路徑上最長的恢復時間才是最重要的，即路徑的“長度”不是等待時間的總和，而是需要等待的最長時間的長度。兩個節點之間的連接要恢復。 每個恢復時間從t = 0計算，因此恢復時間是獨立的，順序無關緊要。

所以我們要做的就是找到每個路徑上恢復時間最短的路徑，並返回該時間。

我已經使用Dijkstra和Bellman-Ford算法解決了這個問題，但是無法真正解決如何修改算法以獲得理想結果的問題。 最多可以有10 ^ 5個連接。

Answer 1

使用DSU（ https://en.wikipedia.org/wiki/Disjoint-set_data_structure ）很容易：

1. 按重量對所有邊緣進行排序，增加
2. 循環遍歷邊，如果節點u和v在不同的不相交集中，則將它們合並為一個不相交集
3. 如果合並后節點1和N在同一組中，則asnwer是當前邊緣的權重，我們可以突破循環。

復雜性：O（E log E + V log V）

Answer 2

如Photon所述，DSU是最美麗的解決方案。

另一種可能的解決方案是使用二進制搜索+ dfs / bfs / Dijkstra / Bellman-Ford /

該算法將以最多log（最大可能的邊緣成本）運行DFS / BFS。

該算法將如下工作：

lo = 0, hi = largest cost from any edge from a graph
mid = dummy_value

while ( lo < hi ):
    mid = (lo + hi) / 2
    check if there is a path from source to destination using only edges with cost <= mid
    if there is a path:
        hi = mid
    else:
        lo = mid + 1

return mid

使用DSU的解決方案具有更好的運行時復雜性，但這引入了對答案進行二元搜索的想法，這是解決問題的經典理念。 在某些問題中，做DSU是不可能的。