我正在尋找有關nat類型的引理

Question

我正在尋找有關nat的問題。 我希望它已經存在於Coq庫之一中，所以我不必證明這一點。

forall m n : nat, (S m < n)%nat -> (n - (S m) < n)%nat

請指出我的圖書館是否存在。 謝謝！

Answer 1

該陳述不成立：用m = 0代替，結論變為n < n ，這是一個明顯的矛盾。

Answer 2

您幾乎在尋找Nat.sub_lt 。 我建議使用“ Search命令查找引理。 非常強大。

Require Import Arith.
Goal forall m n, (S m < n)%nat -> (n - (S m) < n)%nat.
  intros.
  Search (_ - _ < _).
  apply Nat.sub_lt.
  Search (_ < _ -> _ <= _).
  apply Nat.lt_le_incl, H.
  Search (0 < S _).
  apply Nat.lt_0_succ.
Qed.

或auto using Nat.sub_lt, Nat.lt_le_incl, Nat.lt_0_succ. 或auto with arith.

Answer 3

據我所知，沒有Coq庫可以證明您的陳述。 因此，您可以提出自己的證明如下：

Require Import PeanoNat List.
Import Nat.

Goal(forall m n : nat, (S m < n)%nat -> (n - (S m) < n)%nat).
Proof.
induction m.
destruct n.
intros.
inversion H.
intros. simpl.
rewrite Nat.sub_0_r.
apply lt_succ_diag_r.
intros.
intuition.
Qed.