證明以下語言是正常的：

Question

令L1，L2為常規語言。 並令A1 = 〈Σ，Q，q0，𝛿1，F1），A2 = 〈Σ，P，p0，𝛿2，F2）為它們的DFA。

通過為其制定適當的NFA來證明以下語言是正常的：

𝐿3= {𝜎1𝜎1′𝜎2𝜎2′…𝜎𝑛𝜎𝑛′| 𝜎1𝜎2…𝜎𝑛∈𝐿1，𝜎1′𝜎2′…𝜎𝑛′∈𝐿2}（意思是偶數位置（從0開始）的字母的所有單詞的語言L1和奇數位置的字母來自L2。

希望能對此有所幫助。 謝謝。

Answer 1

考慮以下自動機：

• 字母Σ
• 狀態集（Q x P）並集（P x Q）
• 初始狀態（q0，p0）
• 最終狀態（f1，f2），其中f1和f2分別在F1和F2中
• 如果𝛿1使s上的q到q'到符號s上的（q，p）到（p，q'）的轉換函數，並且如果A2取a則在符號s上把（p，q）到（q，p'）的轉換函數在符號s上從p到p'。

假設您在L3中有一個單詞w。 我們的機器接受嗎？ 序列𝜎1，𝜎2，…，sequencen將使自動機到達的狀態的第一部分與狀態A1僅在處理了序列A1的情況下到達的狀態相同。 由於L3表示w中的這個序列是L1中的一個單詞，因此狀態應該已經在A1中接受，因此第一個成分在F1中。 同樣，序列𝜎1'，𝜎2'，...，𝜎n'在L2中是一個字符串，因此它到達的狀態為接受。 因此，此NFA所達到的狀態為（f1，f2）形式，因此必須接受字符串。 我們剛剛爭論過，NFA 至少接受這種語言的字符串。 剩下的就是爭辯說它不接受其他任何東西。

幸運的是，該參數的其余部分很簡單，我們可能可以與上面的參數同時進行。 它遵循相同的格式。 假設我們的NFA到達接受狀態之一。 然后是（f1，f2）的形式。 這意味着我們看到了偶數長度的字符串，其中一起考慮的奇數索引符號在A1中導致f1，而偶數索引符號在A2中導致f2。 但這意味着序列正在各自的自動機中接受，因此導致我們進入機器接受狀態的字符串必須是L3中的一個單詞。 我們剛剛爭論過，NFA 最多接受這種語言的字符串。

由於我們的機器至少接受我們所需的字符串，並且最多接受我們所需的字符串，因此它可以准確地接受我們所需的字符串。